Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58138 / 38637
↖ ↑ ↗
← N 59.202658°
W 20.319214°		 ← 156.35 m → N 59.202658°
W 20.316467°		 →
↑
156.34 m
↓
↑
156.34 m
↓
N 59.201252°
W 20.319214°		 ← 156.35 m →
24 444 m²		 N 59.201252°
W 20.316467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443561553955078 y=0.294780731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443561553955078 × 217)
    floor (0.443561553955078 × 131072)
    floor (58138.5)     		tx = 58138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294780731201172 × 217)
    floor (0.294780731201172 × 131072)
    floor (38637.5)     		ty = 38637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58138 / 38637 ti = "17/58138/38637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58138/38637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58138 ÷ 217
    58138 ÷ 131072     		x = 0.443557739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38637 ÷ 217
    38637 ÷ 131072     		y = 0.294776916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443557739257812 × 2 - 1) × π
    -0.112884521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35463718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294776916503906 × 2 - 1) × π
    0.410446166992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.28945466287989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35463718} λ = -0.35463718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28945466287989))-π/2
    2×atan(3.63080600247822)-π/2
    2×1.30203881400674-π/2
    2.60407762801347-1.57079632675     		φ = 1.03328130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35463718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.319214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03328130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.202658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58138 KachelY 38637 -0.35463718 1.03328130 -20.319214 59.202658
    Oben rechts KachelX + 1 58139 KachelY 38637 -0.35458925 1.03328130 -20.316467 59.202658
    Unten links KachelX 58138 KachelY + 1 38638 -0.35463718 1.03325676 -20.319214 59.201252
    Unten rechts KachelX + 1 58139 KachelY + 1 38638 -0.35458925 1.03325676 -20.316467 59.201252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03328130-1.03325676) × R
    2.45400000000728e-05 × 6371000     		dl = 156.344340000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03328130-1.03325676) × R
    2.45400000000728e-05 × 6371000     		dr = 156.344340000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35463718--0.35458925) × cos(1.03328130) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.512003023338056 × 6371000     		do = 156.346282572561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35463718--0.35458925) × cos(1.03325676) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.512024102642559 × 6371000     		du = 156.352719391775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03328130)-sin(1.03325676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512003023338056-0.512024102642559)×R²
    abs(-0.35458925--0.35463718)×2.10793045036795e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10793045036795e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10793045036795e-05×40589641000000     		ar = 24444.3595418082m²