Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58137 / 86487
↖ ↑ ↗
← S 49.765300°
W 20.321960°		 ← 197.28 m → S 49.765300°
W 20.319214°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
S 49.767074°
W 20.321960°		 ← 197.27 m →
38 912 m²		 S 49.767074°
W 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443553924560547 y=0.659847259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443553924560547 × 217)
    floor (0.443553924560547 × 131072)
    floor (58137.5)     		tx = 58137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659847259521484 × 217)
    floor (0.659847259521484 × 131072)
    floor (86487.5)     		ty = 86487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58137 / 86487 ti = "17/58137/86487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58137/86487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58137 ÷ 217
    58137 ÷ 131072     		x = 0.443550109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86487 ÷ 217
    86487 ÷ 131072     		y = 0.659843444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443550109863281 × 2 - 1) × π
    -0.112899780273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35468512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659843444824219 × 2 - 1) × π
    -0.319686889648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.0043259839398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35468512} λ = -0.35468512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0043259839398))-π/2
    2×atan(0.366291437931917)-π/2
    2×0.351113993993339-π/2
    0.702227987986678-1.57079632675     		φ = -0.86856834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35468512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.321960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86856834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.765300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58137 KachelY 86487 -0.35468512 -0.86856834 -20.321960 -49.765300
    Oben rechts KachelX + 1 58138 KachelY 86487 -0.35463718 -0.86856834 -20.319214 -49.765300
    Unten links KachelX 58137 KachelY + 1 86488 -0.35468512 -0.86859930 -20.321960 -49.767074
    Unten rechts KachelX + 1 58138 KachelY + 1 86488 -0.35463718 -0.86859930 -20.319214 -49.767074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86856834--0.86859930) × R
    3.09599999999133e-05 × 6371000     		dl = 197.246159999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86856834--0.86859930) × R
    3.09599999999133e-05 × 6371000     		dr = 197.246159999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35468512--0.35463718) × cos(-0.86856834) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645920145197807 × 6371000     		do = 197.280638328047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35468512--0.35463718) × cos(-0.86859930) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645896509870014 × 6371000     		du = 197.273419490565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86856834)-sin(-0.86859930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645920145197807-0.645896509870014)×R²
    abs(-0.35463718--0.35468512)×2.36353277925927e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36353277925927e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36353277925927e-05×40589641000000     		ar = 38912.1364116002m²