Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58137 / 38634
↖ ↑ ↗
← N 59.206876°
W 20.321960°		 ← 156.36 m → N 59.206876°
W 20.319214°		 →
↑
156.34 m
↓
↑
156.34 m
↓
N 59.205470°
W 20.321960°		 ← 156.37 m →
24 446 m²		 N 59.205470°
W 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443553924560547 y=0.294757843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443553924560547 × 217)
    floor (0.443553924560547 × 131072)
    floor (58137.5)     		tx = 58137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294757843017578 × 217)
    floor (0.294757843017578 × 131072)
    floor (38634.5)     		ty = 38634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58137 / 38634 ti = "17/58137/38634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58137/38634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58137 ÷ 217
    58137 ÷ 131072     		x = 0.443550109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38634 ÷ 217
    38634 ÷ 131072     		y = 0.294754028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443550109863281 × 2 - 1) × π
    -0.112899780273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35468512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294754028320312 × 2 - 1) × π
    0.410491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28959847357875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35468512} λ = -0.35468512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28959847357875))-π/2
    2×atan(3.63132818877395)-π/2
    2×1.30207562748908-π/2
    2.60415125497816-1.57079632675     		φ = 1.03335493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35468512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.321960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03335493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.206876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58137 KachelY 38634 -0.35468512 1.03335493 -20.321960 59.206876
    Oben rechts KachelX + 1 58138 KachelY 38634 -0.35463718 1.03335493 -20.319214 59.206876
    Unten links KachelX 58137 KachelY + 1 38635 -0.35468512 1.03333039 -20.321960 59.205470
    Unten rechts KachelX + 1 58138 KachelY + 1 38635 -0.35463718 1.03333039 -20.319214 59.205470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03335493-1.03333039) × R
    2.45400000000728e-05 × 6371000     		dl = 156.344340000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03335493-1.03333039) × R
    2.45400000000728e-05 × 6371000     		dr = 156.344340000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35468512--0.35463718) × cos(1.03335493) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511939774984377 × 6371000     		do = 156.359584610116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35468512--0.35463718) × cos(1.03333039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511960855213971 × 6371000     		du = 156.366023054839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03335493)-sin(1.03333039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511939774984377-0.511960855213971)×R²
    abs(-0.35463718--0.35468512)×2.10802295936841e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10802295936841e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10802295936841e-05×40589641000000     		ar = 24446.4393669922m²