Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58137 / 28337
↖ ↑ ↗
← N 70.915743°
W 20.321960°		 ← 99.86 m → N 70.915743°
W 20.319214°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
N 70.914845°
W 20.321960°		 ← 99.87 m →
9 970 m²		 N 70.914845°
W 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443553924560547 y=0.216197967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443553924560547 × 217)
    floor (0.443553924560547 × 131072)
    floor (58137.5)     		tx = 58137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216197967529297 × 217)
    floor (0.216197967529297 × 131072)
    floor (28337.5)     		ty = 28337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58137 / 28337 ti = "17/58137/28337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58137/28337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58137 ÷ 217
    58137 ÷ 131072     		x = 0.443550109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28337 ÷ 217
    28337 ÷ 131072     		y = 0.216194152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443550109863281 × 2 - 1) × π
    -0.112899780273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35468512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216194152832031 × 2 - 1) × π
    0.567611694335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.78320472896647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35468512} λ = -0.35468512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78320472896647))-π/2
    2×atan(5.94889048444346)-π/2
    2×1.40425476777137-π/2
    2.80850953554274-1.57079632675     		φ = 1.23771321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35468512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.321960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23771321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.915743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58137 KachelY 28337 -0.35468512 1.23771321 -20.321960 70.915743
    Oben rechts KachelX + 1 58138 KachelY 28337 -0.35463718 1.23771321 -20.319214 70.915743
    Unten links KachelX 58137 KachelY + 1 28338 -0.35468512 1.23769754 -20.321960 70.914845
    Unten rechts KachelX + 1 58138 KachelY + 1 28338 -0.35463718 1.23769754 -20.319214 70.914845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23771321-1.23769754) × R
    1.56699999998011e-05 × 6371000     		dl = 99.8335699987329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23771321-1.23769754) × R
    1.56699999998011e-05 × 6371000     		dr = 99.8335699987329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35468512--0.35463718) × cos(1.23771321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326958242699987 × 6371000     		do = 99.8614632257931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35468512--0.35463718) × cos(1.23769754) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326973051417624 × 6371000     		du = 99.8659861893361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23771321)-sin(1.23769754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326958242699987-0.326973051417624)×R²
    abs(-0.35463718--0.35468512)×1.48087176377043e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48087176377043e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48087176377043e-05×40589641000000     		ar = 9969.75215094665m²