Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58136 / 28152
↖ ↑ ↗
← N 71.081182°
W 20.324707°		 ← 99.03 m → N 71.081182°
W 20.321960°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
N 71.080292°
W 20.324707°		 ← 99.03 m →
9 804 m²		 N 71.080292°
W 20.321960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443546295166016 y=0.214786529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443546295166016 × 217)
    floor (0.443546295166016 × 131072)
    floor (58136.5)     		tx = 58136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214786529541016 × 217)
    floor (0.214786529541016 × 131072)
    floor (28152.5)     		ty = 28152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58136 / 28152 ti = "17/58136/28152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58136/28152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58136 ÷ 217
    58136 ÷ 131072     		x = 0.44354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28152 ÷ 217
    28152 ÷ 131072     		y = 0.21478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35473306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21478271484375 × 2 - 1) × π
    0.5704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79207305539618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35473306} λ = -0.35473306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79207305539618))-π/2
    2×atan(6.00188181204844)-π/2
    2×1.40569849364975-π/2
    2.81139698729949-1.57079632675     		φ = 1.24060066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35473306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24060066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.081182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58136 KachelY 28152 -0.35473306 1.24060066 -20.324707 71.081182
    Oben rechts KachelX + 1 58137 KachelY 28152 -0.35468512 1.24060066 -20.321960 71.081182
    Unten links KachelX 58136 KachelY + 1 28153 -0.35473306 1.24058512 -20.324707 71.080292
    Unten rechts KachelX + 1 58137 KachelY + 1 28153 -0.35468512 1.24058512 -20.321960 71.080292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24060066-1.24058512) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dl = 99.0053399995225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24060066-1.24058512) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dr = 99.0053399995225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35473306--0.35468512) × cos(1.24060066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324228131263808 × 6371000     		do = 99.0276169200008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35473306--0.35468512) × cos(1.24058512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32424283173709 × 6371000     		du = 99.0321068229313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24060066)-sin(1.24058512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324228131263808-0.32424283173709)×R²
    abs(-0.35468512--0.35473306)×1.47004732818368e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47004732818368e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47004732818368e-05×40589641000000     		ar = 9804.48514470935m²