Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58135 / 86901
↖ ↑ ↗
← S 50.494211°
W 20.327453°		 ← 194.26 m → S 50.494211°
W 20.324707°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
S 50.495958°
W 20.327453°		 ← 194.25 m →
37 734 m²		 S 50.495958°
W 20.324707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443538665771484 y=0.663005828857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443538665771484 × 217)
    floor (0.443538665771484 × 131072)
    floor (58135.5)     		tx = 58135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663005828857422 × 217)
    floor (0.663005828857422 × 131072)
    floor (86901.5)     		ty = 86901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58135 / 86901 ti = "17/58135/86901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58135/86901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58135 ÷ 217
    58135 ÷ 131072     		x = 0.443534851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86901 ÷ 217
    86901 ÷ 131072     		y = 0.663002014160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443534851074219 × 2 - 1) × π
    -0.112930297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35478099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663002014160156 × 2 - 1) × π
    -0.326004028320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.0241718603825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35478099} λ = -0.35478099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0241718603825))-π/2
    2×atan(0.359093722041583)-π/2
    2×0.344753049068047-π/2
    0.689506098136094-1.57079632675     		φ = -0.88129023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35478099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.327453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88129023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.494211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58135 KachelY 86901 -0.35478099 -0.88129023 -20.327453 -50.494211
    Oben rechts KachelX + 1 58136 KachelY 86901 -0.35473306 -0.88129023 -20.324707 -50.494211
    Unten links KachelX 58135 KachelY + 1 86902 -0.35478099 -0.88132072 -20.327453 -50.495958
    Unten rechts KachelX + 1 58136 KachelY + 1 86902 -0.35473306 -0.88132072 -20.324707 -50.495958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88129023--0.88132072) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dl = 194.251789999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88129023--0.88132072) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dr = 194.251789999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35478099--0.35473306) × cos(-0.88129023) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636156183720166 × 6371000     		do = 194.257943657962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35478099--0.35473306) × cos(-0.88132072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636132658550661 × 6371000     		du = 194.250759964445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88129023)-sin(-0.88132072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636156183720166-0.636132658550661)×R²
    abs(-0.35473306--0.35478099)×2.3525169505878e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3525169505878e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3525169505878e-05×40589641000000     		ar = 37734.255557386m²