Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58135 / 86505
↖ ↑ ↗
← S 49.797223°
W 20.327453°		 ← 197.11 m → S 49.797223°
W 20.324707°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
S 49.798996°
W 20.327453°		 ← 197.10 m →
38 853 m²		 S 49.798996°
W 20.324707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443538665771484 y=0.659984588623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443538665771484 × 217)
    floor (0.443538665771484 × 131072)
    floor (58135.5)     		tx = 58135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659984588623047 × 217)
    floor (0.659984588623047 × 131072)
    floor (86505.5)     		ty = 86505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58135 / 86505 ti = "17/58135/86505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58135/86505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58135 ÷ 217
    58135 ÷ 131072     		x = 0.443534851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86505 ÷ 217
    86505 ÷ 131072     		y = 0.659980773925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443534851074219 × 2 - 1) × π
    -0.112930297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35478099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659980773925781 × 2 - 1) × π
    -0.319961547851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.00518884813296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35478099} λ = -0.35478099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00518884813296))-π/2
    2×atan(0.365975514484981)-π/2
    2×0.350835415087001-π/2
    0.701670830174001-1.57079632675     		φ = -0.86912550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35478099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.327453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86912550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.797223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58135 KachelY 86505 -0.35478099 -0.86912550 -20.327453 -49.797223
    Oben rechts KachelX + 1 58136 KachelY 86505 -0.35473306 -0.86912550 -20.324707 -49.797223
    Unten links KachelX 58135 KachelY + 1 86506 -0.35478099 -0.86915644 -20.327453 -49.798996
    Unten rechts KachelX + 1 58136 KachelY + 1 86506 -0.35473306 -0.86915644 -20.324707 -49.798996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86912550--0.86915644) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86912550--0.86915644) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35478099--0.35473306) × cos(-0.86912550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64549470624462 × 6371000     		do = 197.109573853232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35478099--0.35473306) × cos(-0.86915644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.645471075054483 × 6371000     		du = 197.10235778504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86912550)-sin(-0.86915644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64549470624462-0.645471075054483)×R²
    abs(-0.35473306--0.35478099)×2.36311901370412e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36311901370412e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36311901370412e-05×40589641000000     		ar = 38853.2796319669m²