Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58134 / 28316
↖ ↑ ↗
← N 70.934592°
W 20.330200°		 ← 99.77 m → N 70.934592°
W 20.327453°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
N 70.933695°
W 20.330200°		 ← 99.77 m →
9 954 m²		 N 70.933695°
W 20.327453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443531036376953 y=0.216037750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443531036376953 × 217)
    floor (0.443531036376953 × 131072)
    floor (58134.5)     		tx = 58134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216037750244141 × 217)
    floor (0.216037750244141 × 131072)
    floor (28316.5)     		ty = 28316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58134 / 28316 ti = "17/58134/28316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58134/28316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58134 ÷ 217
    58134 ÷ 131072     		x = 0.443527221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28316 ÷ 217
    28316 ÷ 131072     		y = 0.216033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443527221679688 × 2 - 1) × π
    -0.112945556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35482893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216033935546875 × 2 - 1) × π
    0.56793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78421140385849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35482893} λ = -0.35482893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78421140385849))-π/2
    2×atan(5.95488209842722)-π/2
    2×1.40441925983892-π/2
    2.80883851967784-1.57079632675     		φ = 1.23804219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35482893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.330200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23804219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.934592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58134 KachelY 28316 -0.35482893 1.23804219 -20.330200 70.934592
    Oben rechts KachelX + 1 58135 KachelY 28316 -0.35478099 1.23804219 -20.327453 70.934592
    Unten links KachelX 58134 KachelY + 1 28317 -0.35482893 1.23802653 -20.330200 70.933695
    Unten rechts KachelX + 1 58135 KachelY + 1 28317 -0.35478099 1.23802653 -20.327453 70.933695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23804219-1.23802653) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dl = 99.7698600005348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23804219-1.23802653) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dr = 99.7698600005348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35482893--0.35478099) × cos(1.23804219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326647326152699 × 6371000     		do = 99.7665013091441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35482893--0.35478099) × cos(1.23802653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32666212710367 × 6371000     		du = 99.7710219005471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23804219)-sin(1.23802653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326647326152699-0.32666212710367)×R²
    abs(-0.35478099--0.35482893)×1.48009509708391e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48009509708391e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48009509708391e-05×40589641000000     		ar = 9953.91537803329m²