Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58131 / 86507
↖ ↑ ↗
← S 49.800768°
W 20.338440°		 ← 197.14 m → S 49.800768°
W 20.335693°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
S 49.802541°
W 20.338440°		 ← 197.13 m →
38 859 m²		 S 49.802541°
W 20.335693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443508148193359 y=0.659999847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443508148193359 × 217)
    floor (0.443508148193359 × 131072)
    floor (58131.5)     		tx = 58131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659999847412109 × 217)
    floor (0.659999847412109 × 131072)
    floor (86507.5)     		ty = 86507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58131 / 86507 ti = "17/58131/86507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58131/86507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58131 ÷ 217
    58131 ÷ 131072     		x = 0.443504333496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86507 ÷ 217
    86507 ÷ 131072     		y = 0.659996032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443504333496094 × 2 - 1) × π
    -0.112991333007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35497274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659996032714844 × 2 - 1) × π
    -0.319992065429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.0052847219322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35497274} λ = -0.35497274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0052847219322))-π/2
    2×atan(0.365940428703908)-π/2
    2×0.350804473204832-π/2
    0.701608946409664-1.57079632675     		φ = -0.86918738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35497274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.338440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86918738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.800768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58131 KachelY 86507 -0.35497274 -0.86918738 -20.338440 -49.800768
    Oben rechts KachelX + 1 58132 KachelY 86507 -0.35492480 -0.86918738 -20.335693 -49.800768
    Unten links KachelX 58131 KachelY + 1 86508 -0.35497274 -0.86921832 -20.338440 -49.802541
    Unten rechts KachelX + 1 58132 KachelY + 1 86508 -0.35492480 -0.86921832 -20.335693 -49.802541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86918738--0.86921832) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86918738--0.86921832) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35497274--0.35492480) × cos(-0.86918738) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645447443246447 × 6371000     		do = 197.136262984753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35497274--0.35492480) × cos(-0.86921832) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645423810820535 × 6371000     		du = 197.129045033581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86918738)-sin(-0.86921832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645447443246447-0.645423810820535)×R²
    abs(-0.35492480--0.35497274)×2.3632425912079e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3632425912079e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3632425912079e-05×40589641000000     		ar = 38858.5403741995m²