Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58130 / 86906
↖ ↑ ↗
← S 50.502946°
W 20.341187°		 ← 194.26 m → S 50.502946°
W 20.338440°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
S 50.504693°
W 20.341187°		 ← 194.26 m →
37 735 m²		 S 50.504693°
W 20.338440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443500518798828 y=0.663043975830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443500518798828 × 217)
    floor (0.443500518798828 × 131072)
    floor (58130.5)     		tx = 58130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663043975830078 × 217)
    floor (0.663043975830078 × 131072)
    floor (86906.5)     		ty = 86906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58130 / 86906 ti = "17/58130/86906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58130/86906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58130 ÷ 217
    58130 ÷ 131072     		x = 0.443496704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86906 ÷ 217
    86906 ÷ 131072     		y = 0.663040161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443496704101562 × 2 - 1) × π
    -0.113006591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35502068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663040161132812 × 2 - 1) × π
    -0.326080322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0244115448806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35502068} λ = -0.35502068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0244115448806))-π/2
    2×atan(0.359007663156947)-π/2
    2×0.344676817729402-π/2
    0.689353635458804-1.57079632675     		φ = -0.88144269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35502068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.341187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88144269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.502946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58130 KachelY 86906 -0.35502068 -0.88144269 -20.341187 -50.502946
    Oben rechts KachelX + 1 58131 KachelY 86906 -0.35497274 -0.88144269 -20.338440 -50.502946
    Unten links KachelX 58130 KachelY + 1 86907 -0.35502068 -0.88147318 -20.341187 -50.504693
    Unten rechts KachelX + 1 58131 KachelY + 1 86907 -0.35497274 -0.88147318 -20.338440 -50.504693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88144269--0.88147318) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dl = 194.251789999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88144269--0.88147318) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dr = 194.251789999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35502068--0.35497274) × cos(-0.88144269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636038544242539 × 6371000     		do = 194.262543043673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35502068--0.35497274) × cos(-0.88147318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636015016116186 × 6371000     		du = 194.255356948271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88144269)-sin(-0.88147318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636038544242539-0.636015016116186)×R²
    abs(-0.35497274--0.35502068)×2.35281263532006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35281263532006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35281263532006e-05×40589641000000     		ar = 37735.1487631296m²