Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58129 / 86415
↖ ↑ ↗
← S 49.637399°
W 20.343933°		 ← 197.80 m → S 49.637399°
W 20.341187°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
S 49.639177°
W 20.343933°		 ← 197.79 m →
39 116 m²		 S 49.639177°
W 20.341187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443492889404297 y=0.659297943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443492889404297 × 217)
    floor (0.443492889404297 × 131072)
    floor (58129.5)     		tx = 58129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659297943115234 × 217)
    floor (0.659297943115234 × 131072)
    floor (86415.5)     		ty = 86415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58129 / 86415 ti = "17/58129/86415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58129/86415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58129 ÷ 217
    58129 ÷ 131072     		x = 0.443489074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86415 ÷ 217
    86415 ÷ 131072     		y = 0.659294128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443489074707031 × 2 - 1) × π
    -0.113021850585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35506862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659294128417969 × 2 - 1) × π
    -0.318588256835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.00087452716715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35506862} λ = -0.35506862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00087452716715))-π/2
    2×atan(0.367557861241589)-π/2
    2×0.35223014560509-π/2
    0.704460291210181-1.57079632675     		φ = -0.86633604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35506862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.343933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86633604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.637399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58129 KachelY 86415 -0.35506862 -0.86633604 -20.343933 -49.637399
    Oben rechts KachelX + 1 58130 KachelY 86415 -0.35502068 -0.86633604 -20.341187 -49.637399
    Unten links KachelX 58129 KachelY + 1 86416 -0.35506862 -0.86636708 -20.343933 -49.639177
    Unten rechts KachelX + 1 58130 KachelY + 1 86416 -0.35502068 -0.86636708 -20.341187 -49.639177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86633604--0.86636708) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dl = 197.755839999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86633604--0.86636708) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dr = 197.755839999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35506862--0.35502068) × cos(-0.86633604) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647622683360922 × 6371000     		do = 197.800637306395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35506862--0.35502068) × cos(-0.86636708) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647599031773501 × 6371000     		du = 197.793413502804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86633604)-sin(-0.86636708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647622683360922-0.647599031773501)×R²
    abs(-0.35502068--0.35506862)×2.3651587420459e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3651587420459e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3651587420459e-05×40589641000000     		ar = 39115.5169115779m²