Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58129 / 38148
↖ ↑ ↗
← N 59.883425°
W 20.343933°		 ← 153.25 m → N 59.883425°
W 20.341187°		 →
↑
153.22 m
↓
↑
153.22 m
↓
N 59.882047°
W 20.343933°		 ← 153.26 m →
23 482 m²		 N 59.882047°
W 20.341187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443492889404297 y=0.291049957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443492889404297 × 217)
    floor (0.443492889404297 × 131072)
    floor (58129.5)     		tx = 58129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291049957275391 × 217)
    floor (0.291049957275391 × 131072)
    floor (38148.5)     		ty = 38148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58129 / 38148 ti = "17/58129/38148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58129/38148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58129 ÷ 217
    58129 ÷ 131072     		x = 0.443489074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38148 ÷ 217
    38148 ÷ 131072     		y = 0.291046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443489074707031 × 2 - 1) × π
    -0.113021850585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35506862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291046142578125 × 2 - 1) × π
    0.41790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3128958067941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35506862} λ = -0.35506862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3128958067941))-π/2
    2×atan(3.71692162966158)-π/2
    2×1.30797962882814-π/2
    2.61595925765627-1.57079632675     		φ = 1.04516293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35506862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.343933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04516293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.883425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58129 KachelY 38148 -0.35506862 1.04516293 -20.343933 59.883425
    Oben rechts KachelX + 1 58130 KachelY 38148 -0.35502068 1.04516293 -20.341187 59.883425
    Unten links KachelX 58129 KachelY + 1 38149 -0.35506862 1.04513888 -20.343933 59.882047
    Unten rechts KachelX + 1 58130 KachelY + 1 38149 -0.35502068 1.04513888 -20.341187 59.882047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04516293-1.04513888) × R
    2.40499999999422e-05 × 6371000     		dl = 153.222549999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04516293-1.04513888) × R
    2.40499999999422e-05 × 6371000     		dr = 153.222549999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35506862--0.35502068) × cos(1.04516293) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501760997507126 × 6371000     		do = 153.250723966829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35506862--0.35502068) × cos(1.04513888) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501781800763561 × 6371000     		du = 153.25707781682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04516293)-sin(1.04513888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501760997507126-0.501781800763561)×R²
    abs(-0.35502068--0.35506862)×2.08032564354976e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08032564354976e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08032564354976e-05×40589641000000     		ar = 23481.9534932095m²