Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58129 / 38145
↖ ↑ ↗
← N 59.887559°
W 20.343933°		 ← 153.23 m → N 59.887559°
W 20.341187°		 →
↑
153.29 m
↓
↑
153.29 m
↓
N 59.886181°
W 20.343933°		 ← 153.24 m →
23 489 m²		 N 59.886181°
W 20.341187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443492889404297 y=0.291027069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443492889404297 × 217)
    floor (0.443492889404297 × 131072)
    floor (58129.5)     		tx = 58129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291027069091797 × 217)
    floor (0.291027069091797 × 131072)
    floor (38145.5)     		ty = 38145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58129 / 38145 ti = "17/58129/38145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58129/38145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58129 ÷ 217
    58129 ÷ 131072     		x = 0.443489074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38145 ÷ 217
    38145 ÷ 131072     		y = 0.291023254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443489074707031 × 2 - 1) × π
    -0.113021850585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35506862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291023254394531 × 2 - 1) × π
    0.417953491210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.31303961749296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35506862} λ = -0.35506862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31303961749296))-π/2
    2×atan(3.71745620119638)-π/2
    2×1.30801570588392-π/2
    2.61603141176784-1.57079632675     		φ = 1.04523509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35506862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.343933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04523509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.887559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58129 KachelY 38145 -0.35506862 1.04523509 -20.343933 59.887559
    Oben rechts KachelX + 1 58130 KachelY 38145 -0.35502068 1.04523509 -20.341187 59.887559
    Unten links KachelX 58129 KachelY + 1 38146 -0.35506862 1.04521103 -20.343933 59.886181
    Unten rechts KachelX + 1 58130 KachelY + 1 38146 -0.35502068 1.04521103 -20.341187 59.886181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04523509-1.04521103) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dl = 153.286260000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04523509-1.04521103) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dr = 153.286260000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35506862--0.35502068) × cos(1.04523509) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501698577346123 × 6371000     		do = 153.231659242964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35506862--0.35502068) × cos(1.04521103) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501719390123607 × 6371000     		du = 153.238016000928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04523509)-sin(1.04521103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501698577346123-0.501719390123607)×R²
    abs(-0.35502068--0.35506862)×2.08127774841138e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08127774841138e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08127774841138e-05×40589641000000     		ar = 23488.7951621778m²