Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58127 / 86416
↖ ↑ ↗
← S 49.639177°
W 20.349426°		 ← 197.79 m → S 49.639177°
W 20.346680°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
S 49.640956°
W 20.349426°		 ← 197.79 m →
39 114 m²		 S 49.640956°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443477630615234 y=0.659305572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443477630615234 × 217)
    floor (0.443477630615234 × 131072)
    floor (58127.5)     		tx = 58127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659305572509766 × 217)
    floor (0.659305572509766 × 131072)
    floor (86416.5)     		ty = 86416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58127 / 86416 ti = "17/58127/86416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58127/86416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58127 ÷ 217
    58127 ÷ 131072     		x = 0.443473815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86416 ÷ 217
    86416 ÷ 131072     		y = 0.6593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443473815917969 × 2 - 1) × π
    -0.113052368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35516449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00092246406677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35516449} λ = -0.35516449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00092246406677))-π/2
    2×atan(0.367540242079597)-π/2
    2×0.352214623376715-π/2
    0.70442924675343-1.57079632675     		φ = -0.86636708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35516449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.349426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86636708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.639177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58127 KachelY 86416 -0.35516449 -0.86636708 -20.349426 -49.639177
    Oben rechts KachelX + 1 58128 KachelY 86416 -0.35511655 -0.86636708 -20.346680 -49.639177
    Unten links KachelX 58127 KachelY + 1 86417 -0.35516449 -0.86639812 -20.349426 -49.640956
    Unten rechts KachelX + 1 58128 KachelY + 1 86417 -0.35511655 -0.86639812 -20.346680 -49.640956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86636708--0.86639812) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dl = 197.755840000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86636708--0.86639812) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dr = 197.755840000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.86636708) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647599031773501 × 6371000     		do = 197.793413502804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.86639812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647575379562131 × 6371000     		du = 197.786189508644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86636708)-sin(-0.86639812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647599031773501-0.647575379562131)×R²
    abs(-0.35511655--0.35516449)×2.36522113703508e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36522113703508e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36522113703508e-05×40589641000000     		ar = 39114.0883433842m²