Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58127 / 86384
↖ ↑ ↗
← S 49.582226°
W 20.349426°		 ← 198.02 m → S 49.582226°
W 20.346680°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 49.584007°
W 20.349426°		 ← 198.02 m →
39 210 m²		 S 49.584007°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443477630615234 y=0.659061431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443477630615234 × 217)
    floor (0.443477630615234 × 131072)
    floor (58127.5)     		tx = 58127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659061431884766 × 217)
    floor (0.659061431884766 × 131072)
    floor (86384.5)     		ty = 86384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58127 / 86384 ti = "17/58127/86384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58127/86384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58127 ÷ 217
    58127 ÷ 131072     		x = 0.443473815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86384 ÷ 217
    86384 ÷ 131072     		y = 0.6590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443473815917969 × 2 - 1) × π
    -0.113052368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35516449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6590576171875 × 2 - 1) × π
    -0.318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.999388483278931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35516449} λ = -0.35516449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999388483278931))-π/2
    2×atan(0.368104474399835)-π/2
    2×0.352711615933342-π/2
    0.705423231866683-1.57079632675     		φ = -0.86537309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35516449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.349426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86537309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.582226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58127 KachelY 86384 -0.35516449 -0.86537309 -20.349426 -49.582226
    Oben rechts KachelX + 1 58128 KachelY 86384 -0.35511655 -0.86537309 -20.346680 -49.582226
    Unten links KachelX 58127 KachelY + 1 86385 -0.35516449 -0.86540417 -20.349426 -49.584007
    Unten rechts KachelX + 1 58128 KachelY + 1 86385 -0.35511655 -0.86540417 -20.346680 -49.584007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86537309--0.86540417) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dl = 198.01068000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86537309--0.86540417) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dr = 198.01068000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.86537309) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648356113517158 × 6371000     		do = 198.024645754601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.86540417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648332450843474 × 6371000     		du = 198.017418564981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86537309)-sin(-0.86540417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648356113517158-0.648332450843474)×R²
    abs(-0.35511655--0.35516449)×2.36626736839218e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36626736839218e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36626736839218e-05×40589641000000     		ar = 39210.2792354604m²