Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58126 / 86478
↖ ↑ ↗
← S 49.749331°
W 20.352173°		 ← 197.35 m → S 49.749331°
W 20.349426°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
S 49.751106°
W 20.352173°		 ← 197.34 m →
38 950 m²		 S 49.751106°
W 20.349426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443470001220703 y=0.659778594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443470001220703 × 217)
    floor (0.443470001220703 × 131072)
    floor (58126.5)     		tx = 58126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659778594970703 × 217)
    floor (0.659778594970703 × 131072)
    floor (86478.5)     		ty = 86478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58126 / 86478 ti = "17/58126/86478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58126/86478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58126 ÷ 217
    58126 ÷ 131072     		x = 0.443466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86478 ÷ 217
    86478 ÷ 131072     		y = 0.659774780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443466186523438 × 2 - 1) × π
    -0.113067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35521243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659774780273438 × 2 - 1) × π
    -0.319549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00389455184322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35521243} λ = -0.35521243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00389455184322))-π/2
    2×atan(0.366449501909428)-π/2
    2×0.351253352281047-π/2
    0.702506704562094-1.57079632675     		φ = -0.86828962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35521243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.352173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86828962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.749331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58126 KachelY 86478 -0.35521243 -0.86828962 -20.352173 -49.749331
    Oben rechts KachelX + 1 58127 KachelY 86478 -0.35516449 -0.86828962 -20.349426 -49.749331
    Unten links KachelX 58126 KachelY + 1 86479 -0.35521243 -0.86832060 -20.352173 -49.751106
    Unten rechts KachelX + 1 58127 KachelY + 1 86479 -0.35516449 -0.86832060 -20.349426 -49.751106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86828962--0.86832060) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86828962--0.86832060) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35521243--0.35516449) × cos(-0.86828962) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64613289634244 × 6371000     		do = 197.345618003832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35521243--0.35516449) × cos(-0.86832060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64610925132432 × 6371000     		du = 197.338396206676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86828962)-sin(-0.86832060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64613289634244-0.64610925132432)×R²
    abs(-0.35516449--0.35521243)×2.3645018119911e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3645018119911e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3645018119911e-05×40589641000000     		ar = 38950.0984298291m²