Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58126 / 86349
↖ ↑ ↗
← S 49.519859°
W 20.352173°		 ← 198.28 m → S 49.519859°
W 20.349426°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
S 49.521642°
W 20.352173°		 ← 198.27 m →
39 311 m²		 S 49.521642°
W 20.349426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443470001220703 y=0.658794403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443470001220703 × 217)
    floor (0.443470001220703 × 131072)
    floor (58126.5)     		tx = 58126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658794403076172 × 217)
    floor (0.658794403076172 × 131072)
    floor (86349.5)     		ty = 86349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58126 / 86349 ti = "17/58126/86349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58126/86349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58126 ÷ 217
    58126 ÷ 131072     		x = 0.443466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86349 ÷ 217
    86349 ÷ 131072     		y = 0.658790588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443466186523438 × 2 - 1) × π
    -0.113067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35521243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658790588378906 × 2 - 1) × π
    -0.317581176757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.997710691792229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35521243} λ = -0.35521243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997710691792229))-π/2
    2×atan(0.368722595347231)-π/2
    2×0.353255866535987-π/2
    0.706511733071974-1.57079632675     		φ = -0.86428459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35521243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.352173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86428459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.519859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58126 KachelY 86349 -0.35521243 -0.86428459 -20.352173 -49.519859
    Oben rechts KachelX + 1 58127 KachelY 86349 -0.35516449 -0.86428459 -20.349426 -49.519859
    Unten links KachelX 58126 KachelY + 1 86350 -0.35521243 -0.86431571 -20.352173 -49.521642
    Unten rechts KachelX + 1 58127 KachelY + 1 86350 -0.35516449 -0.86431571 -20.349426 -49.521642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86428459--0.86431571) × R
    3.11199999999401e-05 × 6371000     		dl = 198.265519999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86428459--0.86431571) × R
    3.11199999999401e-05 × 6371000     		dr = 198.265519999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35521243--0.35516449) × cos(-0.86428459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649184444811971 × 6371000     		do = 198.277639453285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35521243--0.35516449) × cos(-0.86431571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649160773660116 × 6371000     		du = 198.270409674213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86428459)-sin(-0.86431571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649184444811971-0.649160773660116)×R²
    abs(-0.35516449--0.35521243)×2.3671151855531e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3671151855531e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3671151855531e-05×40589641000000     		ar = 39310.9025857706m²