Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58126 / 38700
↖ ↑ ↗
← N 59.113948°
W 20.352173°		 ← 156.78 m → N 59.113948°
W 20.349426°		 →
↑
156.79 m
↓
↑
156.79 m
↓
N 59.112538°
W 20.352173°		 ← 156.79 m →
24 583 m²		 N 59.112538°
W 20.349426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443470001220703 y=0.295261383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443470001220703 × 217)
    floor (0.443470001220703 × 131072)
    floor (58126.5)     		tx = 58126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295261383056641 × 217)
    floor (0.295261383056641 × 131072)
    floor (38700.5)     		ty = 38700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58126 / 38700 ti = "17/58126/38700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58126/38700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58126 ÷ 217
    58126 ÷ 131072     		x = 0.443466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38700 ÷ 217
    38700 ÷ 131072     		y = 0.295257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443466186523438 × 2 - 1) × π
    -0.113067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35521243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295257568359375 × 2 - 1) × π
    0.40948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28643463820383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35521243} λ = -0.35521243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28643463820383))-π/2
    2×atan(3.61985741957342)-π/2
    2×1.30126467975791-π/2
    2.60252935951581-1.57079632675     		φ = 1.03173303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35521243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.352173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03173303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.113948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58126 KachelY 38700 -0.35521243 1.03173303 -20.352173 59.113948
    Oben rechts KachelX + 1 58127 KachelY 38700 -0.35516449 1.03173303 -20.349426 59.113948
    Unten links KachelX 58126 KachelY + 1 38701 -0.35521243 1.03170842 -20.352173 59.112538
    Unten rechts KachelX + 1 58127 KachelY + 1 38701 -0.35516449 1.03170842 -20.349426 59.112538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03173303-1.03170842) × R
    2.46100000000915e-05 × 6371000     		dl = 156.790310000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03173303-1.03170842) × R
    2.46100000000915e-05 × 6371000     		dr = 156.790310000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35521243--0.35516449) × cos(1.03173303) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.513332347744965 × 6371000     		do = 156.784912176022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35521243--0.35516449) × cos(1.03170842) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.513353467642898 × 6371000     		du = 156.791362736477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03173303)-sin(1.03170842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513332347744965-0.513353467642898)×R²
    abs(-0.35516449--0.35521243)×2.11198979334082e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11198979334082e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11198979334082e-05×40589641000000     		ar = 24582.8606772768m²