Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58126 / 28039
↖ ↑ ↗
← N 71.181553°
W 20.352173°		 ← 98.52 m → N 71.181553°
W 20.349426°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
N 71.180667°
W 20.352173°		 ← 98.53 m →
9 704 m²		 N 71.180667°
W 20.349426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443470001220703 y=0.213924407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443470001220703 × 217)
    floor (0.443470001220703 × 131072)
    floor (58126.5)     		tx = 58126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213924407958984 × 217)
    floor (0.213924407958984 × 131072)
    floor (28039.5)     		ty = 28039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58126 / 28039 ti = "17/58126/28039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58126/28039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58126 ÷ 217
    58126 ÷ 131072     		x = 0.443466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28039 ÷ 217
    28039 ÷ 131072     		y = 0.213920593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443466186523438 × 2 - 1) × π
    -0.113067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35521243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213920593261719 × 2 - 1) × π
    0.572158813476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.79748992505325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35521243} λ = -0.35521243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79748992505325))-π/2
    2×atan(6.03448143777035)-π/2
    2×1.40657439787152-π/2
    2.81314879574304-1.57079632675     		φ = 1.24235247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35521243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.352173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24235247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.181553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58126 KachelY 28039 -0.35521243 1.24235247 -20.352173 71.181553
    Oben rechts KachelX + 1 58127 KachelY 28039 -0.35516449 1.24235247 -20.349426 71.181553
    Unten links KachelX 58126 KachelY + 1 28040 -0.35521243 1.24233701 -20.352173 71.180667
    Unten rechts KachelX + 1 58127 KachelY + 1 28040 -0.35516449 1.24233701 -20.349426 71.180667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24235247-1.24233701) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24235247-1.24233701) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35521243--0.35516449) × cos(1.24235247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.322570459276162 × 6371000     		do = 98.5213212266112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35521243--0.35516449) × cos(1.24233701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.32258509283035 × 6371000     		du = 98.5257906907279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24235247)-sin(1.24233701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322570459276162-0.32258509283035)×R²
    abs(-0.35516449--0.35521243)×1.46335541880704e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.46335541880704e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.46335541880704e-05×40589641000000     		ar = 9704.14266995266m²