Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58125 / 38703
↖ ↑ ↗
← N 59.109719°
W 20.354919°		 ← 156.77 m → N 59.109719°
W 20.352173°		 →
↑
156.85 m
↓
↑
156.85 m
↓
N 59.108308°
W 20.354919°		 ← 156.78 m →
24 591 m²		 N 59.108308°
W 20.352173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443462371826172 y=0.295284271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443462371826172 × 217)
    floor (0.443462371826172 × 131072)
    floor (58125.5)     		tx = 58125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295284271240234 × 217)
    floor (0.295284271240234 × 131072)
    floor (38703.5)     		ty = 38703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58125 / 38703 ti = "17/58125/38703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58125/38703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58125 ÷ 217
    58125 ÷ 131072     		x = 0.443458557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38703 ÷ 217
    38703 ÷ 131072     		y = 0.295280456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443458557128906 × 2 - 1) × π
    -0.113082885742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35526036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295280456542969 × 2 - 1) × π
    0.409439086914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.28629082750497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35526036} λ = -0.35526036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28629082750497))-π/2
    2×atan(3.61933688277842)-π/2
    2×1.30122776613843-π/2
    2.60245553227687-1.57079632675     		φ = 1.03165921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35526036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.354919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03165921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.109719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58125 KachelY 38703 -0.35526036 1.03165921 -20.354919 59.109719
    Oben rechts KachelX + 1 58126 KachelY 38703 -0.35521243 1.03165921 -20.352173 59.109719
    Unten links KachelX 58125 KachelY + 1 38704 -0.35526036 1.03163459 -20.354919 59.108308
    Unten rechts KachelX + 1 58126 KachelY + 1 38704 -0.35521243 1.03163459 -20.352173 59.108308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03165921-1.03163459) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dl = 156.854020000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03165921-1.03163459) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dr = 156.854020000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35526036--0.35521243) × cos(1.03165921) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.513395697924492 × 6371000     		do = 156.771552511404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35526036--0.35521243) × cos(1.03163459) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.513416825471166 × 6371000     		du = 156.778004061945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03165921)-sin(1.03163459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513395697924492-0.513416825471166)×R²
    abs(-0.35521243--0.35526036)×2.11275466741601e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11275466741601e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11275466741601e-05×40589641000000     		ar = 24590.7542100706m²