Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58125 / 28042
↖ ↑ ↗
← N 71.178895°
W 20.354919°		 ← 98.51 m → N 71.178895°
W 20.352173°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
N 71.178009°
W 20.354919°		 ← 98.52 m →
9 710 m²		 N 71.178009°
W 20.352173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443462371826172 y=0.213947296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443462371826172 × 217)
    floor (0.443462371826172 × 131072)
    floor (58125.5)     		tx = 58125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213947296142578 × 217)
    floor (0.213947296142578 × 131072)
    floor (28042.5)     		ty = 28042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58125 / 28042 ti = "17/58125/28042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58125/28042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58125 ÷ 217
    58125 ÷ 131072     		x = 0.443458557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28042 ÷ 217
    28042 ÷ 131072     		y = 0.213943481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443458557128906 × 2 - 1) × π
    -0.113082885742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35526036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213943481445312 × 2 - 1) × π
    0.572113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79734611435439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35526036} λ = -0.35526036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79734611435439))-π/2
    2×atan(6.03361367717565)-π/2
    2×1.40655120175113-π/2
    2.81310240350227-1.57079632675     		φ = 1.24230608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35526036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.354919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24230608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.178895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58125 KachelY 28042 -0.35526036 1.24230608 -20.354919 71.178895
    Oben rechts KachelX + 1 58126 KachelY 28042 -0.35521243 1.24230608 -20.352173 71.178895
    Unten links KachelX 58125 KachelY + 1 28043 -0.35526036 1.24229061 -20.354919 71.178009
    Unten rechts KachelX + 1 58126 KachelY + 1 28043 -0.35521243 1.24229061 -20.352173 71.178009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24230608-1.24229061) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24230608-1.24229061) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35526036--0.35521243) × cos(1.24230608) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.322614369172723 × 6371000     		do = 98.5141786776984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35526036--0.35521243) × cos(1.24229061) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.322629011960801 × 6371000     		du = 98.5186500291908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24230608)-sin(1.24229061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322614369172723-0.322629011960801)×R²
    abs(-0.35521243--0.35526036)×1.46427880781674e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.46427880781674e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.46427880781674e-05×40589641000000     		ar = 9709.71573367219m²