Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58123 / 28027
↖ ↑ ↗
← N 71.192182°
W 20.360413°		 ← 98.47 m → N 71.192182°
W 20.357666°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
N 71.191296°
W 20.360413°		 ← 98.47 m →
9 693 m²		 N 71.191296°
W 20.357666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443447113037109 y=0.213832855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443447113037109 × 217)
    floor (0.443447113037109 × 131072)
    floor (58123.5)     		tx = 58123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213832855224609 × 217)
    floor (0.213832855224609 × 131072)
    floor (28027.5)     		ty = 28027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58123 / 28027 ti = "17/58123/28027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58123/28027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58123 ÷ 217
    58123 ÷ 131072     		x = 0.443443298339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28027 ÷ 217
    28027 ÷ 131072     		y = 0.213829040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443443298339844 × 2 - 1) × π
    -0.113113403320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35535624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213829040527344 × 2 - 1) × π
    0.572341918945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.79806516784869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35535624} λ = -0.35535624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79806516784869))-π/2
    2×atan(6.03795372835097)-π/2
    2×1.40666715078366-π/2
    2.81333430156733-1.57079632675     		φ = 1.24253797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35535624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.360413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24253797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.192182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58123 KachelY 28027 -0.35535624 1.24253797 -20.360413 71.192182
    Oben rechts KachelX + 1 58124 KachelY 28027 -0.35530830 1.24253797 -20.357666 71.192182
    Unten links KachelX 58123 KachelY + 1 28028 -0.35535624 1.24252252 -20.360413 71.191296
    Unten rechts KachelX + 1 58124 KachelY + 1 28028 -0.35530830 1.24252252 -20.357666 71.191296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24253797-1.24252252) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24253797-1.24252252) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35535624--0.35530830) × cos(1.24253797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32239486954536 × 6371000     		do = 98.4676916030306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35535624--0.35530830) × cos(1.24252252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322409494558392 × 6371000     		du = 98.4721584584583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24253797)-sin(1.24252252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32239486954536-0.322409494558392)×R²
    abs(-0.35530830--0.35535624)×1.46250130316217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46250130316217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46250130316217e-05×40589641000000     		ar = 9692.58673738383m²