Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58122 / 28186
↖ ↑ ↗
← N 71.050881°
W 20.363159°		 ← 99.16 m → N 71.050881°
W 20.360413°		 →
↑
99.20 m
↓
↑
99.20 m
↓
N 71.049989°
W 20.363159°		 ← 99.16 m →
9 837 m²		 N 71.049989°
W 20.360413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443439483642578 y=0.215045928955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443439483642578 × 217)
    floor (0.443439483642578 × 131072)
    floor (58122.5)     		tx = 58122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215045928955078 × 217)
    floor (0.215045928955078 × 131072)
    floor (28186.5)     		ty = 28186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58122 / 28186 ti = "17/58122/28186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58122/28186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58122 ÷ 217
    58122 ÷ 131072     		x = 0.443435668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28186 ÷ 217
    28186 ÷ 131072     		y = 0.215042114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443435668945312 × 2 - 1) × π
    -0.113128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35540417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215042114257812 × 2 - 1) × π
    0.569915771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7904432008091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35540417} λ = -0.35540417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7904432008091))-π/2
    2×atan(5.99210758489414)-π/2
    2×1.40543406751415-π/2
    2.81086813502831-1.57079632675     		φ = 1.24007181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35540417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.363159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24007181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.050881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58122 KachelY 28186 -0.35540417 1.24007181 -20.363159 71.050881
    Oben rechts KachelX + 1 58123 KachelY 28186 -0.35535624 1.24007181 -20.360413 71.050881
    Unten links KachelX 58122 KachelY + 1 28187 -0.35540417 1.24005624 -20.363159 71.049989
    Unten rechts KachelX + 1 58123 KachelY + 1 28187 -0.35535624 1.24005624 -20.360413 71.049989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24007181-1.24005624) × R
    1.55700000001868e-05 × 6371000     		dl = 99.1964700011902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24007181-1.24005624) × R
    1.55700000001868e-05 × 6371000     		dr = 99.1964700011902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35540417--0.35535624) × cos(1.24007181) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324728366852399 × 6371000     		do = 99.1597133006941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35540417--0.35535624) × cos(1.24005624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32474309303302 × 6371000     		du = 99.1642101171026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24007181)-sin(1.24005624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324728366852399-0.32474309303302)×R²
    abs(-0.35535624--0.35540417)×1.47261806207055e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47261806207055e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47261806207055e-05×40589641000000     		ar = 9836.51656022748m²