Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58121 / 86473
↖ ↑ ↗
← S 49.740457°
W 20.365906°		 ← 197.38 m → S 49.740457°
W 20.363159°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
S 49.742232°
W 20.365906°		 ← 197.37 m →
38 957 m²		 S 49.742232°
W 20.363159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443431854248047 y=0.659740447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443431854248047 × 217)
    floor (0.443431854248047 × 131072)
    floor (58121.5)     		tx = 58121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659740447998047 × 217)
    floor (0.659740447998047 × 131072)
    floor (86473.5)     		ty = 86473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58121 / 86473 ti = "17/58121/86473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58121/86473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58121 ÷ 217
    58121 ÷ 131072     		x = 0.443428039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86473 ÷ 217
    86473 ÷ 131072     		y = 0.659736633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443428039550781 × 2 - 1) × π
    -0.113143920898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35545211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659736633300781 × 2 - 1) × π
    -0.319473266601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.00365486734512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35545211} λ = -0.35545211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00365486734512))-π/2
    2×atan(0.36653734470123)-π/2
    2×0.351330793383074-π/2
    0.702661586766148-1.57079632675     		φ = -0.86813474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35545211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.365906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86813474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.740457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58121 KachelY 86473 -0.35545211 -0.86813474 -20.365906 -49.740457
    Oben rechts KachelX + 1 58122 KachelY 86473 -0.35540417 -0.86813474 -20.363159 -49.740457
    Unten links KachelX 58121 KachelY + 1 86474 -0.35545211 -0.86816572 -20.365906 -49.742232
    Unten rechts KachelX + 1 58122 KachelY + 1 86474 -0.35540417 -0.86816572 -20.363159 -49.742232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86813474--0.86816572) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86813474--0.86816572) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35545211--0.35540417) × cos(-0.86813474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646251096868097 × 6371000     		do = 197.381719486621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35545211--0.35540417) × cos(-0.86816572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646227454950468 × 6371000     		du = 197.374498636434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86813474)-sin(-0.86816572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646251096868097-0.646227454950468)×R²
    abs(-0.35540417--0.35545211)×2.36419176294911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36419176294911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36419176294911e-05×40589641000000     		ar = 38957.2240022364m²