Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58119 / 86474
↖ ↑ ↗
← S 49.742232°
W 20.371399°		 ← 197.33 m → S 49.742232°
W 20.368652°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
S 49.744007°
W 20.371399°		 ← 197.33 m →
38 948 m²		 S 49.744007°
W 20.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443416595458984 y=0.659748077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443416595458984 × 217)
    floor (0.443416595458984 × 131072)
    floor (58119.5)     		tx = 58119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659748077392578 × 217)
    floor (0.659748077392578 × 131072)
    floor (86474.5)     		ty = 86474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58119 / 86474 ti = "17/58119/86474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58119/86474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58119 ÷ 217
    58119 ÷ 131072     		x = 0.443412780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86474 ÷ 217
    86474 ÷ 131072     		y = 0.659744262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443412780761719 × 2 - 1) × π
    -0.113174438476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35554798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659744262695312 × 2 - 1) × π
    -0.319488525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00370280424474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35554798} λ = -0.35554798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00370280424474))-π/2
    2×atan(0.366519774458465)-π/2
    2×0.351315304029413-π/2
    0.702630608058826-1.57079632675     		φ = -0.86816572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35554798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.371399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86816572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.742232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58119 KachelY 86474 -0.35554798 -0.86816572 -20.371399 -49.742232
    Oben rechts KachelX + 1 58120 KachelY 86474 -0.35550005 -0.86816572 -20.368652 -49.742232
    Unten links KachelX 58119 KachelY + 1 86475 -0.35554798 -0.86819670 -20.371399 -49.744007
    Unten rechts KachelX + 1 58120 KachelY + 1 86475 -0.35550005 -0.86819670 -20.368652 -49.744007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86816572--0.86819670) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86816572--0.86819670) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35554798--0.35550005) × cos(-0.86816572) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646227454950468 × 6371000     		do = 197.333327485301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35554798--0.35550005) × cos(-0.86819670) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646203812412615 × 6371000     		du = 197.326107951947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86816572)-sin(-0.86819670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646227454950468-0.646203812412615)×R²
    abs(-0.35550005--0.35554798)×2.36425378530303e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36425378530303e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36425378530303e-05×40589641000000     		ar = 38947.6728296316m²