Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58119 / 86470
↖ ↑ ↗
← S 49.735132°
W 20.371399°		 ← 197.36 m → S 49.735132°
W 20.368652°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
S 49.736907°
W 20.371399°		 ← 197.35 m →
38 953 m²		 S 49.736907°
W 20.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443416595458984 y=0.659717559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443416595458984 × 217)
    floor (0.443416595458984 × 131072)
    floor (58119.5)     		tx = 58119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659717559814453 × 217)
    floor (0.659717559814453 × 131072)
    floor (86470.5)     		ty = 86470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58119 / 86470 ti = "17/58119/86470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58119/86470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58119 ÷ 217
    58119 ÷ 131072     		x = 0.443412780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86470 ÷ 217
    86470 ÷ 131072     		y = 0.659713745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443412780761719 × 2 - 1) × π
    -0.113174438476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35554798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659713745117188 × 2 - 1) × π
    -0.319427490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00351105664626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35554798} λ = -0.35554798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00351105664626))-π/2
    2×atan(0.366590060483386)-π/2
    2×0.351377264843916-π/2
    0.702754529687832-1.57079632675     		φ = -0.86804180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35554798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.371399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86804180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.735132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58119 KachelY 86470 -0.35554798 -0.86804180 -20.371399 -49.735132
    Oben rechts KachelX + 1 58120 KachelY 86470 -0.35550005 -0.86804180 -20.368652 -49.735132
    Unten links KachelX 58119 KachelY + 1 86471 -0.35554798 -0.86807278 -20.371399 -49.736907
    Unten rechts KachelX + 1 58120 KachelY + 1 86471 -0.35550005 -0.86807278 -20.368652 -49.736907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86804180--0.86807278) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86804180--0.86807278) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35554798--0.35550005) × cos(-0.86804180) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646322018899418 × 6371000     		do = 197.362203724717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35554798--0.35550005) × cos(-0.86807278) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646298378842595 × 6371000     		du = 197.354984948976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86804180)-sin(-0.86807278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646322018899418-0.646298378842595)×R²
    abs(-0.35550005--0.35554798)×2.36400568227602e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36400568227602e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36400568227602e-05×40589641000000     		ar = 38953.3723113048m²