Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58119 / 38716
↖ ↑ ↗
← N 59.091382°
W 20.371399°		 ← 156.86 m → N 59.091382°
W 20.368652°		 →
↑
156.85 m
↓
↑
156.85 m
↓
N 59.089972°
W 20.371399°		 ← 156.86 m →
24 604 m²		 N 59.089972°
W 20.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443416595458984 y=0.295383453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443416595458984 × 217)
    floor (0.443416595458984 × 131072)
    floor (58119.5)     		tx = 58119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295383453369141 × 217)
    floor (0.295383453369141 × 131072)
    floor (38716.5)     		ty = 38716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58119 / 38716 ti = "17/58119/38716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58119/38716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58119 ÷ 217
    58119 ÷ 131072     		x = 0.443412780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38716 ÷ 217
    38716 ÷ 131072     		y = 0.295379638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443412780761719 × 2 - 1) × π
    -0.113174438476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35554798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295379638671875 × 2 - 1) × π
    0.40924072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28566764780991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35554798} λ = -0.35554798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28566764780991))-π/2
    2×atan(3.61708208816757)-π/2
    2×1.30106775447078-π/2
    2.60213550894156-1.57079632675     		φ = 1.03133918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35554798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.371399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03133918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.091382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58119 KachelY 38716 -0.35554798 1.03133918 -20.371399 59.091382
    Oben rechts KachelX + 1 58120 KachelY 38716 -0.35550005 1.03133918 -20.368652 59.091382
    Unten links KachelX 58119 KachelY + 1 38717 -0.35554798 1.03131456 -20.371399 59.089972
    Unten rechts KachelX + 1 58120 KachelY + 1 38717 -0.35550005 1.03131456 -20.368652 59.089972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03133918-1.03131456) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dl = 156.854020000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03133918-1.03131456) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dr = 156.854020000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35554798--0.35550005) × cos(1.03133918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.513670306013995 × 6371000     		do = 156.855407395069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35554798--0.35550005) × cos(1.03131456) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.513691429514388 × 6371000     		du = 156.86185771003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03133918)-sin(1.03131456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513670306013995-0.513691429514388)×R²
    abs(-0.35550005--0.35554798)×2.11235003931831e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11235003931831e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11235003931831e-05×40589641000000     		ar = 24603.9070887854m²