Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58119 / 38663
↖ ↑ ↗
← N 59.166075°
W 20.371399°		 ← 156.51 m → N 59.166075°
W 20.368652°		 →
↑
156.54 m
↓
↑
156.54 m
↓
N 59.164668°
W 20.371399°		 ← 156.52 m →
24 500 m²		 N 59.164668°
W 20.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443416595458984 y=0.294979095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443416595458984 × 217)
    floor (0.443416595458984 × 131072)
    floor (58119.5)     		tx = 58119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294979095458984 × 217)
    floor (0.294979095458984 × 131072)
    floor (38663.5)     		ty = 38663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58119 / 38663 ti = "17/58119/38663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58119/38663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58119 ÷ 217
    58119 ÷ 131072     		x = 0.443412780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38663 ÷ 217
    38663 ÷ 131072     		y = 0.294975280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443412780761719 × 2 - 1) × π
    -0.113174438476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35554798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294975280761719 × 2 - 1) × π
    0.410049438476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.28820830348977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35554798} λ = -0.35554798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28820830348977))-π/2
    2×atan(3.62628353222039)-π/2
    2×1.30171957328167-π/2
    2.60343914656334-1.57079632675     		φ = 1.03264282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35554798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.371399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03264282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.166075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58119 KachelY 38663 -0.35554798 1.03264282 -20.371399 59.166075
    Oben rechts KachelX + 1 58120 KachelY 38663 -0.35550005 1.03264282 -20.368652 59.166075
    Unten links KachelX 58119 KachelY + 1 38664 -0.35554798 1.03261825 -20.371399 59.164668
    Unten rechts KachelX + 1 58120 KachelY + 1 38664 -0.35550005 1.03261825 -20.368652 59.164668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03264282-1.03261825) × R
    2.45699999998905e-05 × 6371000     		dl = 156.535469999302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03264282-1.03261825) × R
    2.45699999998905e-05 × 6371000     		dr = 156.535469999302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35554798--0.35550005) × cos(1.03264282) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.51255136281836 × 6371000     		do = 156.513724629395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35554798--0.35550005) × cos(1.03261825) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.512572459855505 × 6371000     		du = 156.520166863485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03264282)-sin(1.03261825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51255136281836-0.512572459855505)×R²
    abs(-0.35550005--0.35554798)×2.10970371451458e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10970371451458e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10970371451458e-05×40589641000000     		ar = 24500.453666513m²