Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58118 / 81686
↖ ↑ ↗
← S 40.492915°
W 20.374145°		 ← 232.27 m → S 40.492915°
W 20.371399°		 →
↑
232.29 m
↓
↑
232.29 m
↓
S 40.495004°
W 20.374145°		 ← 232.26 m →
53 953 m²		 S 40.495004°
W 20.371399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443408966064453 y=0.623218536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443408966064453 × 217)
    floor (0.443408966064453 × 131072)
    floor (58118.5)     		tx = 58118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623218536376953 × 217)
    floor (0.623218536376953 × 131072)
    floor (81686.5)     		ty = 81686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58118 / 81686 ti = "17/58118/81686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58118/81686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58118 ÷ 217
    58118 ÷ 131072     		x = 0.443405151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81686 ÷ 217
    81686 ÷ 131072     		y = 0.623214721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443405151367188 × 2 - 1) × π
    -0.113189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35559592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623214721679688 × 2 - 1) × π
    -0.246429443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.774180928863907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35559592} λ = -0.35559592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774180928863907))-π/2
    2×atan(0.461081284748379)-π/2
    2×0.432030817931052-π/2
    0.864061635862105-1.57079632675     		φ = -0.70673469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35559592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.374145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70673469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.492915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58118 KachelY 81686 -0.35559592 -0.70673469 -20.374145 -40.492915
    Oben rechts KachelX + 1 58119 KachelY 81686 -0.35554798 -0.70673469 -20.371399 -40.492915
    Unten links KachelX 58118 KachelY + 1 81687 -0.35559592 -0.70677115 -20.374145 -40.495004
    Unten rechts KachelX + 1 58119 KachelY + 1 81687 -0.35554798 -0.70677115 -20.371399 -40.495004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70673469--0.70677115) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dl = 232.286660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70673469--0.70677115) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dr = 232.286660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35559592--0.35554798) × cos(-0.70673469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.760486268620904 × 6371000     		do = 232.272081353495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35559592--0.35554798) × cos(-0.70677115) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.760462592668097 × 6371000     		du = 232.264850108089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70673469)-sin(-0.70677115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760486268620904-0.760462592668097)×R²
    abs(-0.35554798--0.35559592)×2.36759528071673e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36759528071673e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36759528071673e-05×40589641000000     		ar = 53952.8661338271m²