Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58117 / 45308
↖ ↑ ↗
← N 48.465637°
W 20.376892°		 ← 202.52 m → N 48.465637°
W 20.374145°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
N 48.463816°
W 20.376892°		 ← 202.53 m →
41 005 m²		 N 48.463816°
W 20.374145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443401336669922 y=0.345676422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443401336669922 × 217)
    floor (0.443401336669922 × 131072)
    floor (58117.5)     		tx = 58117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345676422119141 × 217)
    floor (0.345676422119141 × 131072)
    floor (45308.5)     		ty = 45308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58117 / 45308 ti = "17/58117/45308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58117/45308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58117 ÷ 217
    58117 ÷ 131072     		x = 0.443397521972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45308 ÷ 217
    45308 ÷ 131072     		y = 0.345672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443397521972656 × 2 - 1) × π
    -0.113204956054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35564386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345672607421875 × 2 - 1) × π
    0.30865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.969667605514496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35564386} λ = -0.35564386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969667605514496))-π/2
    2×atan(2.63706776687474)-π/2
    2×1.20834063412804-π/2
    2.41668126825609-1.57079632675     		φ = 0.84588494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35564386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.376892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84588494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.465637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58117 KachelY 45308 -0.35564386 0.84588494 -20.376892 48.465637
    Oben rechts KachelX + 1 58118 KachelY 45308 -0.35559592 0.84588494 -20.374145 48.465637
    Unten links KachelX 58117 KachelY + 1 45309 -0.35564386 0.84585316 -20.376892 48.463816
    Unten rechts KachelX + 1 58118 KachelY + 1 45309 -0.35559592 0.84585316 -20.374145 48.463816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84588494-0.84585316) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84588494-0.84585316) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35564386--0.35559592) × cos(0.84588494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663069113127069 × 6371000     		do = 202.518374547846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35564386--0.35559592) × cos(0.84585316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663092901971236 × 6371000     		du = 202.525640273179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84588494)-sin(0.84585316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663069113127069-0.663092901971236)×R²
    abs(-0.35559592--0.35564386)×2.37888441673162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37888441673162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37888441673162e-05×40589641000000     		ar = 41004.7078023551m²