Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58114 / 87299
↖ ↑ ↗
← S 51.184508°
W 20.385132°		 ← 191.45 m → S 51.184508°
W 20.382385°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
S 51.186230°
W 20.385132°		 ← 191.44 m →
36 651 m²		 S 51.186230°
W 20.382385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443378448486328 y=0.666042327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443378448486328 × 217)
    floor (0.443378448486328 × 131072)
    floor (58114.5)     		tx = 58114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666042327880859 × 217)
    floor (0.666042327880859 × 131072)
    floor (87299.5)     		ty = 87299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58114 / 87299 ti = "17/58114/87299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58114/87299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58114 ÷ 217
    58114 ÷ 131072     		x = 0.443374633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87299 ÷ 217
    87299 ÷ 131072     		y = 0.666038513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443374633789062 × 2 - 1) × π
    -0.113250732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35578767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666038513183594 × 2 - 1) × π
    -0.332077026367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.04325074643128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35578767} λ = -0.35578767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04325074643128))-π/2
    2×atan(0.352307555930877)-π/2
    2×0.338729067567184-π/2
    0.677458135134369-1.57079632675     		φ = -0.89333819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35578767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.385132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89333819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.184508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58114 KachelY 87299 -0.35578767 -0.89333819 -20.385132 -51.184508
    Oben rechts KachelX + 1 58115 KachelY 87299 -0.35573973 -0.89333819 -20.382385 -51.184508
    Unten links KachelX 58114 KachelY + 1 87300 -0.35578767 -0.89336824 -20.385132 -51.186230
    Unten rechts KachelX + 1 58115 KachelY + 1 87300 -0.35573973 -0.89336824 -20.382385 -51.186230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89333819--0.89336824) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89333819--0.89336824) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35578767--0.35573973) × cos(-0.89333819) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626814511327425 × 6371000     		do = 191.445285965013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35578767--0.35573973) × cos(-0.89336824) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626791097030668 × 6371000     		du = 191.4381346361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89333819)-sin(-0.89336824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626814511327425-0.626791097030668)×R²
    abs(-0.35573973--0.35578767)×2.34142967567852e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34142967567852e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34142967567852e-05×40589641000000     		ar = 36651.2378492262m²