Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58114 / 38656
↖ ↑ ↗
← N 59.175928°
W 20.385132°		 ← 156.50 m → N 59.175928°
W 20.382385°		 →
↑
156.54 m
↓
↑
156.54 m
↓
N 59.174521°
W 20.385132°		 ← 156.51 m →
24 499 m²		 N 59.174521°
W 20.382385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443378448486328 y=0.294925689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443378448486328 × 217)
    floor (0.443378448486328 × 131072)
    floor (58114.5)     		tx = 58114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294925689697266 × 217)
    floor (0.294925689697266 × 131072)
    floor (38656.5)     		ty = 38656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58114 / 38656 ti = "17/58114/38656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58114/38656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58114 ÷ 217
    58114 ÷ 131072     		x = 0.443374633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38656 ÷ 217
    38656 ÷ 131072     		y = 0.294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443374633789062 × 2 - 1) × π
    -0.113250732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35578767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294921875 × 2 - 1) × π
    0.41015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35578767} λ = -0.35578767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28854386178711))-π/2
    2×atan(3.6275005659296)-π/2
    2×1.30180555632487-π/2
    2.60361111264973-1.57079632675     		φ = 1.03281479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35578767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.385132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03281479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.175928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58114 KachelY 38656 -0.35578767 1.03281479 -20.385132 59.175928
    Oben rechts KachelX + 1 58115 KachelY 38656 -0.35573973 1.03281479 -20.382385 59.175928
    Unten links KachelX 58114 KachelY + 1 38657 -0.35578767 1.03279022 -20.385132 59.174521
    Unten rechts KachelX + 1 58115 KachelY + 1 38657 -0.35573973 1.03279022 -20.382385 59.174521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03281479-1.03279022) × R
    2.45699999998905e-05 × 6371000     		dl = 156.535469999302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03281479-1.03279022) × R
    2.45699999998905e-05 × 6371000     		dr = 156.535469999302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35578767--0.35573973) × cos(1.03281479) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512403692070203 × 6371000     		do = 156.501276829353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35578767--0.35573973) × cos(1.03279022) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512424791272766 × 6371000     		du = 156.507721068909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03281479)-sin(1.03279022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512403692070203-0.512424791272766)×R²
    abs(-0.35573973--0.35578767)×2.10992025625467e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10992025625467e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10992025625467e-05×40589641000000     		ar = 24498.5053014129m²