Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58111 / 45314
↖ ↑ ↗
← N 48.454709°
W 20.393372°		 ← 202.56 m → N 48.454709°
W 20.390625°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
N 48.452888°
W 20.393372°		 ← 202.57 m →
41 026 m²		 N 48.452888°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443355560302734 y=0.345722198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443355560302734 × 217)
    floor (0.443355560302734 × 131072)
    floor (58111.5)     		tx = 58111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345722198486328 × 217)
    floor (0.345722198486328 × 131072)
    floor (45314.5)     		ty = 45314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58111 / 45314 ti = "17/58111/45314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58111/45314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58111 ÷ 217
    58111 ÷ 131072     		x = 0.443351745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45314 ÷ 217
    45314 ÷ 131072     		y = 0.345718383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443351745605469 × 2 - 1) × π
    -0.113296508789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35593148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345718383789062 × 2 - 1) × π
    0.308563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.969379984116776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35593148} λ = -0.35593148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969379984116776))-π/2
    2×atan(2.63630939882442)-π/2
    2×1.20824526743031-π/2
    2.41649053486061-1.57079632675     		φ = 0.84569421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35593148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.393372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84569421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.454709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58111 KachelY 45314 -0.35593148 0.84569421 -20.393372 48.454709
    Oben rechts KachelX + 1 58112 KachelY 45314 -0.35588354 0.84569421 -20.390625 48.454709
    Unten links KachelX 58111 KachelY + 1 45315 -0.35593148 0.84566242 -20.393372 48.452888
    Unten rechts KachelX + 1 58112 KachelY + 1 45315 -0.35588354 0.84566242 -20.390625 48.452888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84569421-0.84566242) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84569421-0.84566242) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35593148--0.35588354) × cos(0.84569421) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663211873567635 × 6371000     		do = 202.561977261283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35593148--0.35588354) × cos(0.84566242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663235665876277 × 6371000     		du = 202.569244044756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84569421)-sin(0.84566242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663211873567635-0.663235665876277)×R²
    abs(-0.35588354--0.35593148)×2.37923086420233e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37923086420233e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37923086420233e-05×40589641000000     		ar = 41026.4416222741m²