Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58110 / 87298
↖ ↑ ↗
← S 51.182786°
W 20.396118°		 ← 191.45 m → S 51.182786°
W 20.393372°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
S 51.184508°
W 20.396118°		 ← 191.45 m →
36 653 m²		 S 51.184508°
W 20.393372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443347930908203 y=0.666034698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443347930908203 × 217)
    floor (0.443347930908203 × 131072)
    floor (58110.5)     		tx = 58110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666034698486328 × 217)
    floor (0.666034698486328 × 131072)
    floor (87298.5)     		ty = 87298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58110 / 87298 ti = "17/58110/87298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58110/87298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58110 ÷ 217
    58110 ÷ 131072     		x = 0.443344116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87298 ÷ 217
    87298 ÷ 131072     		y = 0.666030883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443344116210938 × 2 - 1) × π
    -0.113311767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35597942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666030883789062 × 2 - 1) × π
    -0.332061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04320280953166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35597942} λ = -0.35597942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04320280953166))-π/2
    2×atan(0.352324444867619)-π/2
    2×0.338744091619885-π/2
    0.677488183239771-1.57079632675     		φ = -0.89330814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35597942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.396118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89330814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.182786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58110 KachelY 87298 -0.35597942 -0.89330814 -20.396118 -51.182786
    Oben rechts KachelX + 1 58111 KachelY 87298 -0.35593148 -0.89330814 -20.393372 -51.182786
    Unten links KachelX 58110 KachelY + 1 87299 -0.35597942 -0.89333819 -20.396118 -51.184508
    Unten rechts KachelX + 1 58111 KachelY + 1 87299 -0.35593148 -0.89333819 -20.393372 -51.184508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89330814--0.89333819) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89330814--0.89333819) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35597942--0.35593148) × cos(-0.89330814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626837925058167 × 6371000     		do = 191.45243712083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35597942--0.35593148) × cos(-0.89333819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626814511327425 × 6371000     		du = 191.445285964792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89330814)-sin(-0.89333819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626837925058167-0.626814511327425)×R²
    abs(-0.35593148--0.35597942)×2.34137307416615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34137307416615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34137307416615e-05×40589641000000     		ar = 36652.6069443269m²