Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58109 / 82685
↖ ↑ ↗
← S 42.547010°
W 20.398865°		 ← 224.97 m → S 42.547010°
W 20.396118°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
S 42.549034°
W 20.398865°		 ← 224.96 m →
50 622 m²		 S 42.549034°
W 20.396118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443340301513672 y=0.630840301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443340301513672 × 217)
    floor (0.443340301513672 × 131072)
    floor (58109.5)     		tx = 58109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630840301513672 × 217)
    floor (0.630840301513672 × 131072)
    floor (82685.5)     		ty = 82685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58109 / 82685 ti = "17/58109/82685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58109/82685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58109 ÷ 217
    58109 ÷ 131072     		x = 0.443336486816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82685 ÷ 217
    82685 ÷ 131072     		y = 0.630836486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443336486816406 × 2 - 1) × π
    -0.113327026367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35602735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630836486816406 × 2 - 1) × π
    -0.261672973632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.822069891584343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35602735} λ = -0.35602735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822069891584343))-π/2
    2×atan(0.439520951584171)-π/2
    2×0.414105456185329-π/2
    0.828210912370659-1.57079632675     		φ = -0.74258541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35602735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.398865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74258541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.547010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58109 KachelY 82685 -0.35602735 -0.74258541 -20.398865 -42.547010
    Oben rechts KachelX + 1 58110 KachelY 82685 -0.35597942 -0.74258541 -20.396118 -42.547010
    Unten links KachelX 58109 KachelY + 1 82686 -0.35602735 -0.74262073 -20.398865 -42.549034
    Unten rechts KachelX + 1 58110 KachelY + 1 82686 -0.35597942 -0.74262073 -20.396118 -42.549034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74258541--0.74262073) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dl = 225.02371999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74258541--0.74262073) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dr = 225.02371999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35602735--0.35597942) × cos(-0.74258541) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.736722781874247 × 6371000     		do = 224.967164220505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35602735--0.35597942) × cos(-0.74262073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.736698898210856 × 6371000     		du = 224.959871056568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74258541)-sin(-0.74262073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736722781874247-0.736698898210856)×R²
    abs(-0.35597942--0.35602735)×2.38836633915662e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38836633915662e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38836633915662e-05×40589641000000     		ar = 50622.1276084743m²