Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58105 / 86521
↖ ↑ ↗
← S 49.825581°
W 20.409851°		 ← 197.04 m → S 49.825581°
W 20.407104°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
S 49.827353°
W 20.409851°		 ← 197.03 m →
38 814 m²		 S 49.827353°
W 20.407104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443309783935547 y=0.660106658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443309783935547 × 217)
    floor (0.443309783935547 × 131072)
    floor (58105.5)     		tx = 58105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660106658935547 × 217)
    floor (0.660106658935547 × 131072)
    floor (86521.5)     		ty = 86521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58105 / 86521 ti = "17/58105/86521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58105/86521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58105 ÷ 217
    58105 ÷ 131072     		x = 0.443305969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86521 ÷ 217
    86521 ÷ 131072     		y = 0.660102844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443305969238281 × 2 - 1) × π
    -0.113388061523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35621910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660102844238281 × 2 - 1) × π
    -0.320205688476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.00595583852688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35621910} λ = -0.35621910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00595583852688))-π/2
    2×atan(0.365694922400432)-π/2
    2×0.350587943468152-π/2
    0.701175886936305-1.57079632675     		φ = -0.86962044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35621910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.409851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86962044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.825581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58105 KachelY 86521 -0.35621910 -0.86962044 -20.409851 -49.825581
    Oben rechts KachelX + 1 58106 KachelY 86521 -0.35617116 -0.86962044 -20.407104 -49.825581
    Unten links KachelX 58105 KachelY + 1 86522 -0.35621910 -0.86965136 -20.409851 -49.827353
    Unten rechts KachelX + 1 58106 KachelY + 1 86522 -0.35617116 -0.86965136 -20.407104 -49.827353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86962044--0.86965136) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dl = 196.991319999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86962044--0.86965136) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dr = 196.991319999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35621910--0.35617116) × cos(-0.86962044) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645116609475649 × 6371000     		do = 197.03521783549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35621910--0.35617116) × cos(-0.86965136) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645092983685923 × 6371000     		du = 197.02800191118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86962044)-sin(-0.86965136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645116609475649-0.645092983685923)×R²
    abs(-0.35617116--0.35621910)×2.3625789726256e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3625789726256e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3625789726256e-05×40589641000000     		ar = 38813.5169136283m²