Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58103 / 87297
↖ ↑ ↗
← S 51.181064°
W 20.415344°		 ← 191.42 m → S 51.181064°
W 20.412598°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
S 51.182786°
W 20.415344°		 ← 191.41 m →
36 646 m²		 S 51.182786°
W 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443294525146484 y=0.666027069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443294525146484 × 217)
    floor (0.443294525146484 × 131072)
    floor (58103.5)     		tx = 58103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666027069091797 × 217)
    floor (0.666027069091797 × 131072)
    floor (87297.5)     		ty = 87297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58103 / 87297 ti = "17/58103/87297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58103/87297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58103 ÷ 217
    58103 ÷ 131072     		x = 0.443290710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87297 ÷ 217
    87297 ÷ 131072     		y = 0.666023254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443290710449219 × 2 - 1) × π
    -0.113418579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35631497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666023254394531 × 2 - 1) × π
    -0.332046508789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.04315487263204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35631497} λ = -0.35631497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04315487263204))-π/2
    2×atan(0.352341334613985)-π/2
    2×0.338759116233746-π/2
    0.677518232467492-1.57079632675     		φ = -0.89327809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35631497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.415344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89327809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.181064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58103 KachelY 87297 -0.35631497 -0.89327809 -20.415344 -51.181064
    Oben rechts KachelX + 1 58104 KachelY 87297 -0.35626704 -0.89327809 -20.412598 -51.181064
    Unten links KachelX 58103 KachelY + 1 87298 -0.35631497 -0.89330814 -20.415344 -51.182786
    Unten rechts KachelX + 1 58104 KachelY + 1 87298 -0.35626704 -0.89330814 -20.412598 -51.182786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89327809--0.89330814) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89327809--0.89330814) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35631497--0.35626704) × cos(-0.89327809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.626861338222872 × 6371000     		do = 191.41965076837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35631497--0.35626704) × cos(-0.89330814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.626837925058167 × 6371000     		du = 191.412501276867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89327809)-sin(-0.89330814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626861338222872-0.626837925058167)×R²
    abs(-0.35626704--0.35631497)×2.34131647055547e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34131647055547e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34131647055547e-05×40589641000000     		ar = 36646.330203993m²