Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58103 / 28054
↖ ↑ ↗
← N 71.168259°
W 20.415344°		 ← 98.57 m → N 71.168259°
W 20.412598°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
N 71.167372°
W 20.415344°		 ← 98.57 m →
9 715 m²		 N 71.167372°
W 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443294525146484 y=0.214038848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443294525146484 × 217)
    floor (0.443294525146484 × 131072)
    floor (58103.5)     		tx = 58103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214038848876953 × 217)
    floor (0.214038848876953 × 131072)
    floor (28054.5)     		ty = 28054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58103 / 28054 ti = "17/58103/28054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58103/28054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58103 ÷ 217
    58103 ÷ 131072     		x = 0.443290710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28054 ÷ 217
    28054 ÷ 131072     		y = 0.214035034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443290710449219 × 2 - 1) × π
    -0.113418579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35631497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214035034179688 × 2 - 1) × π
    0.571929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79677087155894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35631497} λ = -0.35631497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79677087155894))-π/2
    2×atan(6.03014388246027)-π/2
    2×1.40645838568881-π/2
    2.81291677137761-1.57079632675     		φ = 1.24212044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35631497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.415344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24212044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.168259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58103 KachelY 28054 -0.35631497 1.24212044 -20.415344 71.168259
    Oben rechts KachelX + 1 58104 KachelY 28054 -0.35626704 1.24212044 -20.412598 71.168259
    Unten links KachelX 58103 KachelY + 1 28055 -0.35631497 1.24210497 -20.415344 71.167372
    Unten rechts KachelX + 1 58104 KachelY + 1 28055 -0.35626704 1.24210497 -20.412598 71.167372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24212044-1.24210497) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24212044-1.24210497) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35631497--0.35626704) × cos(1.24212044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322790077532905 × 6371000     		do = 98.5678333393657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35631497--0.35626704) × cos(1.24210497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32280471939421 × 6371000     		du = 98.5723044078566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24212044)-sin(1.24210497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322790077532905-0.32280471939421)×R²
    abs(-0.35626704--0.35631497)×1.46418613044541e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46418613044541e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46418613044541e-05×40589641000000     		ar = 9715.00388927089m²