Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58102 / 28055
↖ ↑ ↗
← N 71.167372°
W 20.418091°		 ← 98.59 m → N 71.167372°
W 20.415344°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
N 71.166486°
W 20.418091°		 ← 98.60 m →
9 717 m²		 N 71.166486°
W 20.415344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443286895751953 y=0.214046478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443286895751953 × 217)
    floor (0.443286895751953 × 131072)
    floor (58102.5)     		tx = 58102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214046478271484 × 217)
    floor (0.214046478271484 × 131072)
    floor (28055.5)     		ty = 28055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58102 / 28055 ti = "17/58102/28055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58102/28055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58102 ÷ 217
    58102 ÷ 131072     		x = 0.443283081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28055 ÷ 217
    28055 ÷ 131072     		y = 0.214042663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443283081054688 × 2 - 1) × π
    -0.113433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35636291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214042663574219 × 2 - 1) × π
    0.571914672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.79672293465932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35636291} λ = -0.35636291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79672293465932))-π/2
    2×atan(6.02985482298664)-π/2
    2×1.40645064873562-π/2
    2.81290129747125-1.57079632675     		φ = 1.24210497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35636291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.418091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24210497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.167372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58102 KachelY 28055 -0.35636291 1.24210497 -20.418091 71.167372
    Oben rechts KachelX + 1 58103 KachelY 28055 -0.35631497 1.24210497 -20.415344 71.167372
    Unten links KachelX 58102 KachelY + 1 28056 -0.35636291 1.24208950 -20.418091 71.166486
    Unten rechts KachelX + 1 58103 KachelY + 1 28056 -0.35631497 1.24208950 -20.415344 71.166486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24210497-1.24208950) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dl = 98.5593699994036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24210497-1.24208950) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dr = 98.5593699994036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35636291--0.35631497) × cos(1.24210497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32280471939421 × 6371000     		do = 98.5928702964042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35636291--0.35631497) × cos(1.24208950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32281936117826 × 6371000     		du = 98.5973422741327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24210497)-sin(1.24208950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32280471939421-0.32281936117826)×R²
    abs(-0.35631497--0.35636291)×1.46417840503621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46417840503621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46417840503621e-05×40589641000000     		ar = 9717.47156086218m²