Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58100 / 86419
↖ ↑ ↗
← S 49.644513°
W 20.423584°		 ← 197.77 m → S 49.644513°
W 20.420837°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
S 49.646292°
W 20.423584°		 ← 197.76 m →
39 110 m²		 S 49.646292°
W 20.420837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443271636962891 y=0.659328460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443271636962891 × 217)
    floor (0.443271636962891 × 131072)
    floor (58100.5)     		tx = 58100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659328460693359 × 217)
    floor (0.659328460693359 × 131072)
    floor (86419.5)     		ty = 86419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58100 / 86419 ti = "17/58100/86419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58100/86419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58100 ÷ 217
    58100 ÷ 131072     		x = 0.443267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86419 ÷ 217
    86419 ÷ 131072     		y = 0.659324645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.11346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35645879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659324645996094 × 2 - 1) × π
    -0.318649291992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.00106627476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35645879} λ = -0.35645879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00106627476563))-π/2
    2×atan(0.367487389660987)-π/2
    2×0.352168060093388-π/2
    0.704336120186775-1.57079632675     		φ = -0.86646021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35645879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.423584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86646021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.644513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58100 KachelY 86419 -0.35645879 -0.86646021 -20.423584 -49.644513
    Oben rechts KachelX + 1 58101 KachelY 86419 -0.35641085 -0.86646021 -20.420837 -49.644513
    Unten links KachelX 58100 KachelY + 1 86420 -0.35645879 -0.86649125 -20.423584 -49.646292
    Unten rechts KachelX + 1 58101 KachelY + 1 86420 -0.35641085 -0.86649125 -20.420837 -49.646292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86646021--0.86649125) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dl = 197.755840000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86646021--0.86649125) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dr = 197.755840000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35645879--0.35641085) × cos(-0.86646021) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647528065647216 × 6371000     		do = 197.771738621169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35645879--0.35641085) × cos(-0.86649125) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647504411563933 × 6371000     		du = 197.764514055278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86646021)-sin(-0.86649125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647528065647216-0.647504411563933)×R²
    abs(-0.35641085--0.35645879)×2.36540832837528e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36540832837528e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36540832837528e-05×40589641000000     		ar = 39109.801952461m²