Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58100 / 28420
↖ ↑ ↗
← N 70.841067°
W 20.423584°		 ← 100.24 m → N 70.841067°
W 20.420837°		 →
↑
100.22 m
↓
↑
100.22 m
↓
N 70.840166°
W 20.423584°		 ← 100.24 m →
10 046 m²		 N 70.840166°
W 20.420837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443271636962891 y=0.216831207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443271636962891 × 217)
    floor (0.443271636962891 × 131072)
    floor (58100.5)     		tx = 58100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216831207275391 × 217)
    floor (0.216831207275391 × 131072)
    floor (28420.5)     		ty = 28420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58100 / 28420 ti = "17/58100/28420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58100/28420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58100 ÷ 217
    58100 ÷ 131072     		x = 0.443267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28420 ÷ 217
    28420 ÷ 131072     		y = 0.216827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.11346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35645879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216827392578125 × 2 - 1) × π
    0.56634521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.779225966298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35645879} λ = -0.35645879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.779225966298))-π/2
    2×atan(5.92526828578894)-π/2
    2×1.40360309893055-π/2
    2.8072061978611-1.57079632675     		φ = 1.23640987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35645879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.423584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23640987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.841067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58100 KachelY 28420 -0.35645879 1.23640987 -20.423584 70.841067
    Oben rechts KachelX + 1 58101 KachelY 28420 -0.35641085 1.23640987 -20.420837 70.841067
    Unten links KachelX 58100 KachelY + 1 28421 -0.35645879 1.23639414 -20.423584 70.840166
    Unten rechts KachelX + 1 58101 KachelY + 1 28421 -0.35641085 1.23639414 -20.420837 70.840166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23640987-1.23639414) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dl = 100.215829999239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23640987-1.23639414) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dr = 100.215829999239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35645879--0.35641085) × cos(1.23640987) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.328189671501799 × 6371000     		do = 100.237573278844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35645879--0.35641085) × cos(1.23639414) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.328204530205533 × 6371000     		du = 100.242111509428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23640987)-sin(1.23639414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328189671501799-0.328204530205533)×R²
    abs(-0.35641085--0.35645879)×1.48587037336889e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48587037336889e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48587037336889e-05×40589641000000     		ar = 10045.6190045374m²