Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 581 / 423
↖ ↑ ↗
← N 29.840644°
E 24.257813°		 ← 33.909 km → N 29.840644°
E 24.609375°		 →
↑
33.961 km
↓
↑
33.961 km
↓
N 29.535229°
E 24.257813°		 ← 34.012 km →
1 153.32 km²		 N 29.535229°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56787109375 y=0.41357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56787109375 × 210)
    floor (0.56787109375 × 1024)
    floor (581.5)     		tx = 581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41357421875 × 210)
    floor (0.41357421875 × 1024)
    floor (423.5)     		ty = 423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 581 / 423 ti = "10/581/423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/581/423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 581 ÷ 210
    581 ÷ 1024     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 423 ÷ 210
    423 ÷ 1024     		y = 0.4130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4130859375 × 2 - 1) × π
    0.173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.54609716047168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54609716047168))-π/2
    2×atan(1.72650159291067)-π/2
    2×1.04580690687431-π/2
    2.09161381374863-1.57079632675     		φ = 0.52081749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52081749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.840644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 581 KachelY 423 0.42337870 0.52081749 24.257813 29.840644
    Oben rechts KachelX + 1 582 KachelY 423 0.42951462 0.52081749 24.609375 29.840644
    Unten links KachelX 581 KachelY + 1 424 0.42337870 0.51548700 24.257813 29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 582 KachelY + 1 424 0.42951462 0.51548700 24.609375 29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52081749-0.51548700) × R
    0.00533048999999997 × 6371000     		dl = 33960.5517899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52081749-0.51548700) × R
    0.00533048999999997 × 6371000     		dr = 33960.5517899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42951462) × cos(0.52081749) × R
    0.00613592000000002 × 0.867412695201626 × 6371000     		do = 33908.8505181086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42951462) × cos(0.51548700) × R
    0.00613592000000002 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 34012.0555796752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52081749)-sin(0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867412695201626-0.870052754632841)×R²
    abs(0.42951462-0.42337870)×0.00264005943121459×R²
    0.00613592000000002×0.00264005943121459×6371000²
    0.00613592000000002×0.00264005943121459×40589641000000     		ar = 1153318455.45781m²