Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58096 / 86319
↖ ↑ ↗
← S 49.466339°
W 20.434570°		 ← 198.45 m → S 49.466339°
W 20.431824°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
S 49.468124°
W 20.434570°		 ← 198.45 m →
39 384 m²		 S 49.468124°
W 20.431824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443241119384766 y=0.658565521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443241119384766 × 217)
    floor (0.443241119384766 × 131072)
    floor (58096.5)     		tx = 58096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658565521240234 × 217)
    floor (0.658565521240234 × 131072)
    floor (86319.5)     		ty = 86319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58096 / 86319 ti = "17/58096/86319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58096/86319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58096 ÷ 217
    58096 ÷ 131072     		x = 0.4432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86319 ÷ 217
    86319 ÷ 131072     		y = 0.658561706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35665053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658561706542969 × 2 - 1) × π
    -0.317123413085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.996272584803627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35665053} λ = -0.35665053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996272584803627))-π/2
    2×atan(0.369253239358432)-π/2
    2×0.353722920210722-π/2
    0.707445840421444-1.57079632675     		φ = -0.86335049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35665053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86335049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.466339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58096 KachelY 86319 -0.35665053 -0.86335049 -20.434570 -49.466339
    Oben rechts KachelX + 1 58097 KachelY 86319 -0.35660260 -0.86335049 -20.431824 -49.466339
    Unten links KachelX 58096 KachelY + 1 86320 -0.35665053 -0.86338164 -20.434570 -49.468124
    Unten rechts KachelX + 1 58097 KachelY + 1 86320 -0.35660260 -0.86338164 -20.431824 -49.468124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86335049--0.86338164) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dl = 198.456649999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86335049--0.86338164) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dr = 198.456649999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35665053--0.35660260) × cos(-0.86335049) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649894666928769 × 6371000     		do = 198.453154779664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35665053--0.35660260) × cos(-0.86338164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649870991856825 × 6371000     		du = 198.445925311635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86335049)-sin(-0.86338164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649894666928769-0.649870991856825)×R²
    abs(-0.35660260--0.35665053)×2.3675071943674e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3675071943674e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3675071943674e-05×40589641000000     		ar = 39383.6309146679m²