Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58095 / 86318
↖ ↑ ↗
← S 49.464554°
W 20.437317°		 ← 198.50 m → S 49.464554°
W 20.434570°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
S 49.466339°
W 20.437317°		 ← 198.49 m →
39 406 m²		 S 49.466339°
W 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443233489990234 y=0.658557891845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443233489990234 × 217)
    floor (0.443233489990234 × 131072)
    floor (58095.5)     		tx = 58095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658557891845703 × 217)
    floor (0.658557891845703 × 131072)
    floor (86318.5)     		ty = 86318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58095 / 86318 ti = "17/58095/86318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58095/86318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58095 ÷ 217
    58095 ÷ 131072     		x = 0.443229675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86318 ÷ 217
    86318 ÷ 131072     		y = 0.658554077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443229675292969 × 2 - 1) × π
    -0.113540649414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35669847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658554077148438 × 2 - 1) × π
    -0.317108154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.996224647904007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35669847} λ = -0.35669847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996224647904007))-π/2
    2×atan(0.36927094063817)-π/2
    2×0.353738497462254-π/2
    0.707476994924509-1.57079632675     		φ = -0.86331933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35669847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.437317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86331933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.464554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58095 KachelY 86318 -0.35669847 -0.86331933 -20.437317 -49.464554
    Oben rechts KachelX + 1 58096 KachelY 86318 -0.35665053 -0.86331933 -20.434570 -49.464554
    Unten links KachelX 58095 KachelY + 1 86319 -0.35669847 -0.86335049 -20.437317 -49.466339
    Unten rechts KachelX + 1 58096 KachelY + 1 86319 -0.35665053 -0.86335049 -20.434570 -49.466339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86331933--0.86335049) × R
    3.1159999999919e-05 × 6371000     		dl = 198.520359999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86331933--0.86335049) × R
    3.1159999999919e-05 × 6371000     		dr = 198.520359999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35669847--0.35665053) × cos(-0.86331933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649918348970146 × 6371000     		do = 198.501792673655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35669847--0.35665053) × cos(-0.86335049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649894666928769 × 6371000     		du = 198.494559568643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86331933)-sin(-0.86335049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649918348970146-0.649894666928769)×R²
    abs(-0.35665053--0.35669847)×2.36820413768157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36820413768157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36820413768157e-05×40589641000000     		ar = 39405.9293859572m²