Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58095 / 84415
↖ ↑ ↗
← S 45.949240°
W 20.437317°		 ← 212.36 m → S 45.949240°
W 20.434570°		 →
↑
212.35 m
↓
↑
212.35 m
↓
S 45.951150°
W 20.437317°		 ← 212.35 m →
45 093 m²		 S 45.951150°
W 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443233489990234 y=0.644039154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443233489990234 × 217)
    floor (0.443233489990234 × 131072)
    floor (58095.5)     		tx = 58095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644039154052734 × 217)
    floor (0.644039154052734 × 131072)
    floor (84415.5)     		ty = 84415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58095 / 84415 ti = "17/58095/84415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58095/84415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58095 ÷ 217
    58095 ÷ 131072     		x = 0.443229675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84415 ÷ 217
    84415 ÷ 131072     		y = 0.644035339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443229675292969 × 2 - 1) × π
    -0.113540649414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35669847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644035339355469 × 2 - 1) × π
    -0.288070678710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.90500072792704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35669847} λ = -0.35669847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90500072792704))-π/2
    2×atan(0.404541590626149)-π/2
    2×0.384415399717046-π/2
    0.768830799434092-1.57079632675     		φ = -0.80196553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35669847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.437317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80196553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.949240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58095 KachelY 84415 -0.35669847 -0.80196553 -20.437317 -45.949240
    Oben rechts KachelX + 1 58096 KachelY 84415 -0.35665053 -0.80196553 -20.434570 -45.949240
    Unten links KachelX 58095 KachelY + 1 84416 -0.35669847 -0.80199886 -20.437317 -45.951150
    Unten rechts KachelX + 1 58096 KachelY + 1 84416 -0.35665053 -0.80199886 -20.434570 -45.951150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80196553--0.80199886) × R
    3.33299999999426e-05 × 6371000     		dl = 212.345429999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80196553--0.80199886) × R
    3.33299999999426e-05 × 6371000     		dr = 212.345429999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35669847--0.35665053) × cos(-0.80196553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695295379541755 × 6371000     		do = 212.361105814982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35669847--0.35665053) × cos(-0.80199886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695271424081233 × 6371000     		du = 212.353789200725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80196553)-sin(-0.80199886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695295379541755-0.695271424081233)×R²
    abs(-0.35665053--0.35669847)×2.39554605222514e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39554605222514e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39554605222514e-05×40589641000000     		ar = 45093.1335087441m²