Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58092 / 86427
↖ ↑ ↗
← S 49.658739°
W 20.445557°		 ← 197.71 m → S 49.658739°
W 20.442810°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
S 49.660517°
W 20.445557°		 ← 197.71 m →
39 098 m²		 S 49.660517°
W 20.442810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443210601806641 y=0.659389495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443210601806641 × 217)
    floor (0.443210601806641 × 131072)
    floor (58092.5)     		tx = 58092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659389495849609 × 217)
    floor (0.659389495849609 × 131072)
    floor (86427.5)     		ty = 86427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58092 / 86427 ti = "17/58092/86427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58092/86427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58092 ÷ 217
    58092 ÷ 131072     		x = 0.443206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86427 ÷ 217
    86427 ÷ 131072     		y = 0.659385681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443206787109375 × 2 - 1) × π
    -0.11358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35684228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659385681152344 × 2 - 1) × π
    -0.318771362304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.00144976996259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35684228} λ = -0.35684228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00144976996259))-π/2
    2×atan(0.367346487031577)-π/2
    2×0.352043916283365-π/2
    0.704087832566729-1.57079632675     		φ = -0.86670849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35684228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86670849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.658739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58092 KachelY 86427 -0.35684228 -0.86670849 -20.445557 -49.658739
    Oben rechts KachelX + 1 58093 KachelY 86427 -0.35679434 -0.86670849 -20.442810 -49.658739
    Unten links KachelX 58092 KachelY + 1 86428 -0.35684228 -0.86673953 -20.445557 -49.660517
    Unten rechts KachelX + 1 58093 KachelY + 1 86428 -0.35679434 -0.86673953 -20.442810 -49.660517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86670849--0.86673953) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dl = 197.755839999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86670849--0.86673953) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dr = 197.755839999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35684228--0.35679434) × cos(-0.86670849) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647338846002277 × 6371000     		do = 197.713946071091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35684228--0.35679434) × cos(-0.86673953) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647315186929566 × 6371000     		du = 197.7067199813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86670849)-sin(-0.86673953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647338846002277-0.647315186929566)×R²
    abs(-0.35679434--0.35684228)×2.36590727105135e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36590727105135e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36590727105135e-05×40589641000000     		ar = 39098.3729875882m²