Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58091 / 85796
↖ ↑ ↗
← S 48.523881°
W 20.448303°		 ← 202.29 m → S 48.523881°
W 20.445557°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
S 48.525700°
W 20.448303°		 ← 202.28 m →
40 917 m²		 S 48.525700°
W 20.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443202972412109 y=0.654575347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443202972412109 × 217)
    floor (0.443202972412109 × 131072)
    floor (58091.5)     		tx = 58091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654575347900391 × 217)
    floor (0.654575347900391 × 131072)
    floor (85796.5)     		ty = 85796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58091 / 85796 ti = "17/58091/85796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58091/85796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58091 ÷ 217
    58091 ÷ 131072     		x = 0.443199157714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85796 ÷ 217
    85796 ÷ 131072     		y = 0.654571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443199157714844 × 2 - 1) × π
    -0.113601684570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35689022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.30914306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.971201586302338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35689022} λ = -0.35689022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971201586302338))-π/2
    2×atan(0.378627810669661)-π/2
    2×0.361947416990721-π/2
    0.723894833981442-1.57079632675     		φ = -0.84690149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35689022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.448303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84690149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.523881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58091 KachelY 85796 -0.35689022 -0.84690149 -20.448303 -48.523881
    Oben rechts KachelX + 1 58092 KachelY 85796 -0.35684228 -0.84690149 -20.445557 -48.523881
    Unten links KachelX 58091 KachelY + 1 85797 -0.35689022 -0.84693324 -20.448303 -48.525700
    Unten rechts KachelX + 1 58092 KachelY + 1 85797 -0.35684228 -0.84693324 -20.445557 -48.525700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84690149--0.84693324) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84690149--0.84693324) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35689022--0.35684228) × cos(-0.84690149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662307823839507 × 6371000     		do = 202.285857203838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35689022--0.35684228) × cos(-0.84693324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662284035394843 × 6371000     		du = 202.278591600524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84690149)-sin(-0.84693324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662307823839507-0.662284035394843)×R²
    abs(-0.35684228--0.35689022)×2.37884446638859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37884446638859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37884446638859e-05×40589641000000     		ar = 40917.4966437773m²