Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58091 / 85487
↖ ↑ ↗
← S 47.958663°
W 20.448303°		 ← 204.53 m → S 47.958663°
W 20.445557°		 →
↑
204.51 m
↓
↑
204.51 m
↓
S 47.960503°
W 20.448303°		 ← 204.53 m →
41 828 m²		 S 47.960503°
W 20.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443202972412109 y=0.652217864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443202972412109 × 217)
    floor (0.443202972412109 × 131072)
    floor (58091.5)     		tx = 58091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652217864990234 × 217)
    floor (0.652217864990234 × 131072)
    floor (85487.5)     		ty = 85487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58091 / 85487 ti = "17/58091/85487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58091/85487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58091 ÷ 217
    58091 ÷ 131072     		x = 0.443199157714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85487 ÷ 217
    85487 ÷ 131072     		y = 0.652214050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443199157714844 × 2 - 1) × π
    -0.113601684570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35689022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652214050292969 × 2 - 1) × π
    -0.304428100585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.95638908431974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35689022} λ = -0.35689022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95638908431974))-π/2
    2×atan(0.384277979123237)-π/2
    2×0.36687987519223-π/2
    0.733759750384459-1.57079632675     		φ = -0.83703658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35689022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.448303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83703658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.958663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58091 KachelY 85487 -0.35689022 -0.83703658 -20.448303 -47.958663
    Oben rechts KachelX + 1 58092 KachelY 85487 -0.35684228 -0.83703658 -20.445557 -47.958663
    Unten links KachelX 58091 KachelY + 1 85488 -0.35689022 -0.83706868 -20.448303 -47.960503
    Unten rechts KachelX + 1 58092 KachelY + 1 85488 -0.35684228 -0.83706868 -20.445557 -47.960503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83703658--0.83706868) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dl = 204.509099999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83703658--0.83706868) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dr = 204.509099999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35689022--0.35684228) × cos(-0.83703658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669666582146321 × 6371000     		do = 204.533411405177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35689022--0.35684228) × cos(-0.83706868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669642742354945 × 6371000     		du = 204.526130119254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83703658)-sin(-0.83706868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669666582146321-0.669642742354945)×R²
    abs(-0.35684228--0.35689022)×2.38397913756572e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38397913756572e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38397913756572e-05×40589641000000     		ar = 41828.1993453034m²