Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58091 / 85483
↖ ↑ ↗
← S 47.951305°
W 20.448303°		 ← 204.56 m → S 47.951305°
W 20.445557°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
S 47.953145°
W 20.448303°		 ← 204.56 m →
41 847 m²		 S 47.953145°
W 20.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443202972412109 y=0.652187347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443202972412109 × 217)
    floor (0.443202972412109 × 131072)
    floor (58091.5)     		tx = 58091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652187347412109 × 217)
    floor (0.652187347412109 × 131072)
    floor (85483.5)     		ty = 85483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58091 / 85483 ti = "17/58091/85483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58091/85483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58091 ÷ 217
    58091 ÷ 131072     		x = 0.443199157714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85483 ÷ 217
    85483 ÷ 131072     		y = 0.652183532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443199157714844 × 2 - 1) × π
    -0.113601684570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35689022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652183532714844 × 2 - 1) × π
    -0.304367065429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.95619733672126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35689022} λ = -0.35689022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95619733672126))-π/2
    2×atan(0.384351670567736)-π/2
    2×0.366944083243385-π/2
    0.733888166486769-1.57079632675     		φ = -0.83690816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35689022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.448303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83690816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.951305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58091 KachelY 85483 -0.35689022 -0.83690816 -20.448303 -47.951305
    Oben rechts KachelX + 1 58092 KachelY 85483 -0.35684228 -0.83690816 -20.445557 -47.951305
    Unten links KachelX 58091 KachelY + 1 85484 -0.35689022 -0.83694027 -20.448303 -47.953145
    Unten rechts KachelX + 1 58092 KachelY + 1 85484 -0.35684228 -0.83694027 -20.445557 -47.953145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83690816--0.83694027) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83690816--0.83694027) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35689022--0.35684228) × cos(-0.83690816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669761949262784 × 6371000     		do = 204.562538977294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35689022--0.35684228) × cos(-0.83694027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669738104806137 × 6371000     		du = 204.555256266478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83690816)-sin(-0.83694027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669761949262784-0.669738104806137)×R²
    abs(-0.35684228--0.35689022)×2.38444566476037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38444566476037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38444566476037e-05×40589641000000     		ar = 41847.1885005454m²