Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58090 / 86314
↖ ↑ ↗
← S 49.457413°
W 20.451050°		 ← 198.49 m → S 49.457413°
W 20.448303°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
S 49.459199°
W 20.451050°		 ← 198.48 m →
39 403 m²		 S 49.459199°
W 20.448303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443195343017578 y=0.658527374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443195343017578 × 217)
    floor (0.443195343017578 × 131072)
    floor (58090.5)     		tx = 58090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658527374267578 × 217)
    floor (0.658527374267578 × 131072)
    floor (86314.5)     		ty = 86314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58090 / 86314 ti = "17/58090/86314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58090/86314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58090 ÷ 217
    58090 ÷ 131072     		x = 0.443191528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86314 ÷ 217
    86314 ÷ 131072     		y = 0.658523559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443191528320312 × 2 - 1) × π
    -0.113616943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35693815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658523559570312 × 2 - 1) × π
    -0.317047119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.996032900305527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35693815} λ = -0.35693815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996032900305527))-π/2
    2×atan(0.369341754243178)-π/2
    2×0.353800812143685-π/2
    0.70760162428737-1.57079632675     		φ = -0.86319470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35693815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.451050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86319470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.457413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58090 KachelY 86314 -0.35693815 -0.86319470 -20.451050 -49.457413
    Oben rechts KachelX + 1 58091 KachelY 86314 -0.35689022 -0.86319470 -20.448303 -49.457413
    Unten links KachelX 58090 KachelY + 1 86315 -0.35693815 -0.86322586 -20.451050 -49.459199
    Unten rechts KachelX + 1 58091 KachelY + 1 86315 -0.35689022 -0.86322586 -20.448303 -49.459199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86319470--0.86322586) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86319470--0.86322586) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35693815--0.35689022) × cos(-0.86319470) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650013063225839 × 6371000     		do = 198.489308513282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35693815--0.35689022) × cos(-0.86322586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649989383708539 × 6371000     		du = 198.48207768781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86319470)-sin(-0.86322586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650013063225839-0.649989383708539)×R²
    abs(-0.35689022--0.35693815)×2.36795172999793e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36795172999793e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36795172999793e-05×40589641000000     		ar = 39403.4512523835m²